面对行政机关不履行职责的情况，你可以通过以下多种途径来维护自己的合法权益，我会从不同角度为你详细分析：

1. 内部监督途径

   • 向上级行政机关反映：你可以通过书信、电子邮件、电话等形式，向该行政部门的上级主管部门或本级人民政府反映问题，详细说明不履行职责的具体情况。这种方式适用于一般工作失误或轻微违法的不作为情况。例如，基层市场监管部门对商户违规行为未及时处理，你就可以向其上级部门反映。
   • 行政复议：如果你认为行政机关不履行法定职责侵犯了你的合法权益，可以在知道该具体行政行为之日起六十日内（法律另有规定的除外）提出行政复议申请。你需要提交复议申请书及相关证据材料，向作出具体行政行为的行政机关的上一级主管部门或本级人民政府提出。如果复议机关认定行政机关确实存在不履行法定职责的情况，会责令其在一定期限内履行。

2. 外部监督途径

   • 向监察机关举报：如果涉及公职人员违法违纪行为的不作为，如税务部门工作人员故意拖延退税申请，你可以通过监察机关的举报渠道（如电话、网站、来信来访等）进行举报，提供被举报部门及工作人员的基本情况和不履行职责的具体事实。
   • 向人民法院提起行政诉讼：如果其他途径无法解决问题，且行政机关的不作为严重侵犯了你的合法权益，你可以撰写行政起诉状，明确被告行政部门信息、诉讼请求、事实和理由，并收集相关证据材料，向有管辖权的人民法院提起诉讼。在行政诉讼中，如果法院认定行政机关的不作为行为违法，会判决其履行法定职责或承担相应的法律责任。

3. 借助社会力量

   • 媒体曝光：如果行政部门不履行职责涉及公共利益，且其他途径效果不佳，你可以考虑向报纸、电视台、网络媒体等反映情况。但务必确保提供的信息真实准确，避免造成不必要的误解或负面影响。例如，地方政府对垃圾处理不及时导致环境污染，居民就可以通过媒体曝光引起社会关注。

4. 法律救济途径

   • 申请国家赔偿：如果行政机关的拒不履行行为给你造成了实际损失，你可以依法提起国家赔偿请求。在行政诉讼中，如果法院认定行政机关的不作为行为给你造成了损害，行政机关应承担相应的赔偿责任。你需要按照法定程序提交赔偿申请及相关证据材料。

在采取上述措施时，你需要注意以下几点：

• 保存证据：在采取任何措施前，请务必保存好向行政机关提出申请的证据，如书面申请、电子邮件、录音录像等，这是证明行政机关不作为的重要依据。
• 选择合适的维权方式：根据实际情况和具体需求，选择合适的维权方式。不同的途径有不同的适用条件和程序要求，你需要仔细了解并遵循。
• 遵循法定程序：在维权过程中，务必遵循法定程序进行操作。这有助于确保你的权益得到有效保障，并避免因程序不当而导致维权失败。

面对行政机关不履行职责的情况，你有多种法律途径可以选择来维护自身权益。如果你有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。