结论前置：员工请病假，公司是否可以开除，主要取决于员工是否处于法定医疗期内以及医疗期满后的工作能力和表现，还有员工是否存在严重违反公司规章制度的行为。在医疗期内，公司不得随意解除劳动合同；医疗期满后，若员工无法从事原工作或另行安排的工作，公司在履行相应程序后可以解除劳动合同；若员工存在严重违反公司规章制度的行为，公司也有权解除劳动合同。
一、医疗期内的保护
根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十二条第三项规定，劳动者患病或者非因工负伤，在规定的医疗期内，用人单位不得依照该法第四十条、第四十一条的规定解除劳动合同。医疗期是指企业职工因患病或非因工负伤停止工作治病休息不得解除劳动合同的时限，具体根据员工的实际工作年限和在本单位的工作年限来确定，从3个月到24个月不等。
举例说明：假设员工A在公司工作了5年，因患病需要请假治疗，根据规定，A可能享有6个月的医疗期。在这6个月内，公司不得随意开除A，否则将构成违法解除劳动合同。
二、医疗期满后的处理
无法胜任原工作：如果员工在医疗期满后不能从事原工作，也不能从事由用人单位另行安排的工作，公司在提前三十日以书面形式通知员工本人或者额外支付员工一个月工资后，可以解除劳动合同。这是根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十条第一项的规定。
经济补偿：在医疗期满后合法解除劳动合同的情况下，公司需按照法律规定支付经济补偿。经济补偿的计算方式是按劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付；六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。
三、严重违反公司规章制度的情况
如果员工在请病假过程中存在严重违反公司规章制度的行为，如提供虚假的病假证明，公司在有充分证据的情况下，有权依据规章制度合法解除与员工的劳动合同，且无需支付经济补偿。这是根据《中华人民共和国劳动合同法》第三十九条第二项的规定，即劳动者严重违反用人单位的规章制度的，用人单位可以解除劳动合同。
举例说明：假设员工B使用伪造的病假条请假，被公司发现后，公司可以依据规章制度对B进行处罚，包括解除劳动合同，且无需支付经济补偿。
四、违法解除劳动合同的后果
如果公司在员工医疗期内或其他不合法情况下开除员工，属于违法解除劳动合同。员工有权要求公司继续履行劳动合同；如果劳动合同已经不能继续履行，公司应当依照经济补偿标准的二倍向员工支付赔偿金。
总结与建议：员工请病假时，公司应首先确认员工是否处于医疗期内，以及医疗期满后的具体情况和工作能力。在处理员工病假及解雇事宜时，公司应严格遵守相关法律法规，确保合法合规。如果员工存在严重违反公司规章制度的行为，公司也应依法处理，维护自身权益。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。