当嫌疑人在派出所逃跑时，民警及司法机关会采取一系列严谨且合法的措施来应对，以下是对此情况的详细解答：
一、立即应急响应与追捕行动
启动应急机制：一旦发现嫌疑人逃跑，派出所会立即拉响警报，并迅速通报嫌疑人的关键信息，如体貌特征、衣着打扮、逃跑方向等，确保全体警员能够迅速知晓并展开行动。
现场追捕与监控追踪：民警会组织足够的警力对嫌疑人进行现场追捕，同时利用周边的监控设备来确定其逃窜的轨迹。此外，还会请求上级公安机关的支援，如调动特警、警犬等力量，并协调周边派出所、交警等部门在主要路口设卡堵截，形成严密的包围圈。
发布通缉令与寻求群众协助：根据案件的性质和嫌疑人的危险程度，民警会考虑发布通缉令，通过媒体、网络等渠道向社会公众发布协查通报，鼓励群众提供线索，共同协助抓捕逃跑的嫌疑人。
二、法律定性与处理措施
脱逃罪判定：如果逃跑者是依法被关押的罪犯、被告人或犯罪嫌疑人，那么其行为可能构成脱逃罪。根据《中华人民共和国刑法》第三百一十六条的规定，此类行为可处五年以下有期徒刑或者拘役。
一般公民逃跑的处理：如果逃跑者是一般公民，且没有其他违法犯罪行为，那么单纯的逃跑行为通常不构成犯罪。但是，如果逃跑行为导致了其他后果，如造成了财产损失或人身伤害，那么逃跑者可能会面临行政处罚或民事责任。
三、刑事诉讼程序的继续推进
诉讼程序不中断：刑事诉讼程序不会因为嫌疑人的逃跑而停止。如果已有充足的证据证实其犯罪事实，即便嫌疑人在逃，司法机关也可以依法提起公诉。
量刑情节的考量：一旦嫌疑人被抓获，司法机关会根据其涉嫌的罪名及法律规定进行处理。逃跑期间的行为，如是否抗拒抓捕、是否造成其他后果等，都可能被作为量刑情节来考虑，如酌定从重处罚。
四、内部调查与后续完善工作
调查逃跑原因：派出所会对嫌疑人逃跑事件展开内部调查，查明逃脱的原因，包括是否存在监管疏忽、设施漏洞等问题，并收集相关证据、询问相关人员。
责任追究与制度完善：根据调查结果，派出所会对责任人员进行问责处理。同时，会对派出所的监管制度、设施设备等进行全面检查和完善，以防止类似事件再次发生。
五、综合判断与法律适用
从派出所逃跑的行为本身并不直接构成特定罪名，而是需要结合逃跑者的身份、逃跑的时机、前行为以及造成的后果等因素，依据相关法律法规进行综合判断。司法机关在处理过程中会确保程序合法、证据确凿，并依法作出公正处理。
综上所述，嫌疑人在派出所逃跑后，民警及司法机关会迅速启动应急响应机制，采取有效追捕措施，并依法进行法律定性与处理。同时，会继续推进刑事诉讼程序，加强内部调查与后续完善工作，以确保法律尊严和社会秩序得到维护。