未签订书面劳动合同情况下，用人单位违法辞退员工的补偿标准需分两种情形讨论，核心结论如下：

1. 未签合同但存在事实劳动关系，用人单位违法解除的
   根据《劳动合同法》第82条及第87条，用人单位需承担双重责任：

   • 双倍工资差额：自用工满1个月的次日起，至补签合同或劳动关系终止前，按应付工资的100%支付（最长不超过11个月）。
     
   • 违法解除赔偿金：按经济补偿标准的2倍支付，即工作每满1年支付2个月工资（如工作6个月，支付1个月工资的2倍即2个月工资）。
     示例：员工工作8个月未签合同，被违法辞退，可主张7个月双倍工资差额（第2-8月） + 2个月工资赔偿金。

2. 未签合同且无法证明事实劳动关系（如无考勤、工资记录等）
   若员工无法举证劳动关系存在（如未保留工作证、工资转账记录等），可能面临维权困难。此时需优先通过劳动仲裁确认劳动关系，再主张补偿。
   关键证据：工资支付凭证、社保缴纳记录、工作证、同事证言等。

操作建议：

• 立即取证：保存工资条、工作群聊天记录、考勤记录等，证明劳动关系及工作年限。
  
• 主张期限：双倍工资差额的仲裁时效为1年，自用工满1年的次日起计算（如2023年1月入职，最晚需在2024年12月前主张）。
  
• 协商优先：可要求用人单位补签合同并支付补偿，若协商不成，及时申请劳动仲裁。

法律依据：

• 《劳动合同法》第10条（书面合同要求）、第82条（双倍工资）、第47条（经济补偿标准）、第87条（违法解除赔偿）。
  
• 《劳动争议调解仲裁法》第27条（仲裁时效）。

如有具体案情（如工作年限、工资标准等），可进一步向我说明，我会为您计算具体补偿金额。