继承人死亡后，其子女是否享有继承权，这主要取决于继承的具体情境和法律规定，具体可以分为以下几种情况：

1. 代位继承的情况：

   • 适用条件：根据《中华人民共和国民法典》第一千一百二十八条，当被继承人的子女先于被继承人死亡时，由该子女的直系晚辈血亲（即子女的子女）代位继承。这意味着，如果继承人（如被继承人的儿子或女儿）在被继承人之前去世，那么继承人的子女可以代位继承原本应由继承人继承的遗产份额。
   • 实例说明：假设老张有儿子小张，小张有儿子小小张。若小张在老张之前去世，那么在老张去世后，小小张可以代位继承原本属于小张应继承的老张的遗产部分。

2. 转继承的情况：

   • 适用条件：依据《中华人民共和国民法典》第一千一百五十二条，若继承人在继承开始后、遗产分割前死亡，且未放弃继承权，则该继承人应得的遗产份额将转由其继承人（如配偶、子女等）继承。这适用于继承人未明确放弃继承权，且在遗产实际分割前去世的情形。
   • 实例说明：假设老王去世后，其遗产尚未分割，此时他的儿子小王也去世，且小王生前未表示放弃对老王遗产的继承。那么，小王原本应继承的老王的遗产部分，将转由小王的继承人（如配偶、子女）来继承。

3. 遗嘱继承中的特殊情况：

   • 遗嘱内容的影响：如果被继承人留有遗嘱，并且遗嘱中对遗产分配有明确安排，那么遗嘱的内容将优先于法定继承的规定。这意味着，即使子女符合代位继承或转继承的条件，他们的继承权也可能受到遗嘱内容的限制或排除。例如，遗嘱可能指定遗产由其他亲属或朋友继承，或者对继承人的子女有特别的安排。
   • 特别说明：如果遗嘱中明确指定了遗产由继承人的子女继承，或者对继承人的死亡后有特别的安排，那么继承人的子女可能根据遗嘱的特别说明获得继承权。

法律建议与后果分析：

• 法律建议：在处理遗产继承问题时，由于涉及复杂的法律关系和可能的争议，建议仔细审查遗嘱内容（如有），并了解相关法律规定。如果继承人或其子女对遗产分配有疑问或争议，应及时寻求法律帮助，以确保权益得到妥善保护。
• 可能后果：如果继承人或其子女未按照法律规定或遗嘱内容行使继承权，可能会导致遗产分配纠纷或法律诉讼。这不仅会耗费时间和精力，还可能对家庭关系造成负面影响。

总结与行动指南：

继承人死亡后，其子女是否享有继承权取决于多种因素，包括继承人的死亡时间、遗嘱的内容以及相关法律规定。在处理此类问题时，建议遵循以下步骤：

1. 审查遗嘱：如果有遗嘱，首先审查遗嘱内容，了解遗产分配的具体安排。
2. 了解法律规定：熟悉代位继承和转继承的相关法律规定，以确定子女是否享有继承权。
3. 寻求法律帮助：如有疑问或争议，及时向我咨询，以获取专业的法律意见和帮助。

希望这些信息能对你有所帮助。如果你有任何其他问题或需要进一步的法律咨询，请随时向我提问。