结论前置：针对您入职20天没签合同被辞退的情况，您有权要求公司支付未签劳动合同的双倍工资差额（实际应支付部分为入职第2个月起至离职前的工资差额，但鉴于您仅入职20天，主要涉及的是未签合同的事实及可能的赔偿问题，实际双倍工资差额可能按实际工作天数折算，但更关键的是您可主张其他相关权益）以及违法解除劳动合同的赔偿金（如果公司辞退行为违法）。同时，您还有权要求公司支付您工作期间的工资。
详细分析：
未签劳动合同的双倍工资差额：
- 法律依据：根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十二条：“用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。”
- 应用分析：虽然您仅入职20天，未满一个月，但此条款表明，一旦超过一个月未签合同，公司就需支付双倍工资。您的情况虽未直接触及该条款的完整适用期，但凸显了公司未与您签订劳动合同的事实。在实际操作中，若您继续工作超过一个月，则从第二个月开始，您有权要求公司支付双倍工资差额。对于您已工作的20天，虽不直接产生双倍工资差额的完整请求权，但可作为公司违规的证据，且在后续可能的劳动仲裁中，可能影响对公司过错程度的认定。不过，从更实际的角度，您可关注的是，若公司后续仍不签合同，您将有权主张从第二个月起的双倍工资。就当前20天而言，更重要的是确认公司未签合同的事实，并准备在必要时主张相关权益。
违法解除劳动合同的赔偿金：
- 法律依据：根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十八条：“用人单位违反本法规定解除或者终止劳动合同，劳动者要求继续履行劳动合同的，用人单位应当继续履行；劳动者不要求继续履行劳动合同或者劳动合同已经不能继续履行的，用人单位应当依照本法第八十七条规定支付赔偿金。”以及第八十七条：“用人单位违反本法规定解除或者终止劳动合同的，应当依照本法第四十七条规定的经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。”
- 应用分析：如果公司辞退您的行为没有合法依据（如没有合理的辞退理由、未遵循法定程序等），则构成违法解除劳动合同。您有权要求公司支付赔偿金，赔偿金的标准为经济补偿标准的二倍。经济补偿标准根据您在公司的工作年限和月工资来确定，由于您仅入职20天，经济补偿可能按半个月工资计算（工作不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿），但赔偿金则是这一数额的两倍，即一个月工资（但需注意，实际赔偿可能因具体案情和地区司法实践有所不同，且若月工资高于当地职工月平均工资三倍的，支付标准有特别规定）。不过，更关键的是，您需要证明公司辞退行为违法，这可能需要收集相关证据（如辞退通知、公司规章制度、工作记录等）。
工作期间的工资：
- 法律依据：根据《中华人民共和国劳动法》第五十条：“工资应当以货币形式按月支付给劳动者本人。不得克扣或者无故拖欠劳动者的工资。”
- 应用分析：无论公司是否与您签订劳动合同，也无论公司是否合法辞退您，您都有权要求公司支付您工作期间的工资。这是您的基本劳动权益，公司不得以任何理由拒绝支付。
建议行动：
- 收集证据：保存好与公司的所有沟通记录、工作记录、辞退通知等证据，以证明公司未与您签订劳动合同以及违法辞退您的事实。
- 与公司协商：尝试与公司进行协商，要求公司支付未签劳动合同的双倍工资差额（虽当前20天不直接产生完整请求权，但可主张后续权益并强调公司违规）、违法解除劳动合同的赔偿金以及工作期间的工资。
- 申请劳动仲裁：如果协商无果，您可以向当地劳动仲裁委员会申请劳动仲裁，要求公司支付上述费用。在申请劳动仲裁时，您需要提交相关证据和仲裁申请书。
后续思考：
- 在未来的职业发展中，建议您在入职时即要求公司签订劳动合同，并仔细阅读合同条款，确保自己的权益得到保障。
- 如果遇到类似情况，及时咨询专业律师或法律机构，以便更好地维护自己的权益。
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