结论：第三方劳务派遣员工被辞退时是否有补偿，主要取决于辞退的具体原因和情形。以下是对此问题的详细分析：
一、有补偿的情况
因客观原因退回并解除劳动合同：
- 如果用工单位因经营期限届满不再继续经营、经济性裁员等客观原因将员工退回，且劳务派遣单位因此与员工解除劳动合同的，劳务派遣单位应当向劳动者支付经济补偿。
- 计算公式：经济补偿按劳动者在本单位工作的年限计算，每满一年支付一个月工资；六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，支付半个月工资的经济补偿。
- 示例：若员工在劳务派遣单位工作2年，月工资为5000元，则经济补偿为2年 × 5000元/月 = 10000元。
违法退回与解除：
- 若用工单位无正当理由随意退回劳动者，或劳务派遣单位违法解除与劳动者的劳动合同，劳动者有权获得赔偿金。
- 计算公式：赔偿金是经济补偿标准的二倍，即上述经济补偿金额的两倍。
- 示例：若上述情况被认定为违法解除，则赔偿金为2 × 10000元 = 20000元。
劳务派遣合同到期终止：
- 如果是劳务派遣合同到期终止，且劳务派遣单位不愿意续签，那么也需要向劳动者支付经济补偿金，计算方式同上。
二、无补偿的情况
过错性辞退：
- 若员工存在严重违反用工单位的规章制度、严重失职给用工单位造成重大损害等过错情形，用工单位将其退回，劳务派遣单位因此解除劳动合同的，劳务派遣单位无需支付经济补偿。
新工作安排拒绝：
- 用工单位将派遣员工退回劳务派遣公司后，如果劳务派遣公司有新的工作安排且工资待遇等不降低，而劳动者拒绝的，这种情况下解除劳动合同，劳动者不能要求经济补偿。
派遣协议期满终止且无额外损失：
- 劳务派遣协议期满终止，用工单位将派遣员工退回，派遣单位没有继续为员工安排新的工作岗位，但已按照法律规定支付了派遣协议到期的经济补偿，此时不存在额外的辞退补偿。
三、特殊说明与建议
- 月工资的定义与计算：月工资是指劳动者在劳动合同解除或者终止前十二个月的平均工资。若劳动者月工资高于所在地政府公布的上年度职工月平均工资三倍的，经济补偿标准按此三倍数额支付，且最高不超过十二年。
- 维权途径：劳动者如对自身权益有疑问，首先应与劳务派遣单位、用工单位进行沟通协商。协商不成的，可以通过劳动仲裁委员会申请仲裁，甚至向法院提起诉讼来维护自己的合法权益。
在处理这类问题时，应详细审查劳动合同的具体条款、劳务派遣协议以及相关的法律法规。特别是关于经济补偿、赔偿责任和合同终止等方面的约定，对于维护劳动者的合法权益至关重要。如果你面临此类问题或有任何疑问，可以直接向我咨询，我会根据你的具体情况提供详细的法律建议。