当面对交警不出具交通事故认定书的情况时，您可以按照以下步骤来处理，以确保自身权益得到妥善维护：
一、了解原因并主动沟通
首先，您需要主动与负责处理事故的交警进行沟通，以理性、诚恳的态度询问不作出事故认定书的具体原因。可能的原因包括事故调查尚未完成、需要补充相关证据、技术难题或等待鉴定结果等。通过沟通，您可以更清楚地了解情况，并为后续行动做好准备。
二、根据原因采取相应措施
若调查未完成或需要补充证据：
- 您应理解并配合交警的调查工作，按要求补充相关证据材料，如现场照片、视频、车辆维修记录、证人证言等，以协助加快调查进度。
- 与交警协商出具事故认定书的时间，并表达尽快处理的诉求。
若交警存在违规行为或无故拖延：
- 若您发现交警存在程序违规、故意拖延或徇私舞弊等行为，可向交警大队的法制科或上级交警支队进行书面或口头申诉，详细说明事故情况及交警不作为的情况，并提供相关证据。
- 同时，您也可以拨打12389专用举报电话或使用互联网举报平台向公安机关警务督察部门投诉，提供准确信息以便调查。
三、采取法律途径维护权益
行政复议：
- 若您认为交警部门的行为侵犯了您的合法权益，根据《行政复议法》，您可以在知道具体行政行为之日起六十日内向本级人民政府或上一级主管部门提出行政复议申请。
- 提交所需材料，包括行政复议申请书、相关证据等，要求责令交警部门依法作出事故认定书。
行政诉讼：
- 若行政复议未能解决问题或您对复议结果不满意，根据《行政诉讼法》，您可以在知道交警不作为之日起六个月内向有管辖权的人民法院提起行政诉讼。
- 在诉讼过程中，您需要承担举证责任，提供相关证据证明交警部门的不作为及其对您造成的损失。
四、其他维权建议
保险理赔：
- 若您有车险，可向保险公司报案，并提交所有可用证据和材料以便理赔。在此过程中，咨询专业律师可获得更具体的法律建议。
寻求专业律师帮助：
- 在整个过程中，若您感到无法自行处理或需要法律支持，可寻求专业律师的帮助。律师会根据具体情况，提供专业建议，指导您如何起诉，并共同努力追回赔偿。
五、注意事项
- 在整个处理过程中，务必注意收集和保存与事故及处理过程相关的各种证据，如与交警的沟通记录、书面申请材料、事故现场证据等。这些证据将在需要时为您的合法权益提供有力支持。
- 保持冷静和理性，避免与交警发生冲突或采取过激行为，以免影响问题的解决。
综上所述，面对交警不出具交通事故认定书的情况，您应通过沟通协商、向上级部门反映、向警务督察部门投诉以及提起行政复议或行政诉讼等途径来寻求解决。同时，了解相关法律法规和程序，对于维护自身权益至关重要。在必要时，寻求专业律师的帮助将更有效地解决问题并保障您的合法权益。