当公司提出解除劳动关系时，赔偿问题需要根据具体情况来细致分析。以下是对不同情形下公司解除劳动关系所需承担的赔偿责任的详细解答：

一、公司无需支付赔偿的情形

如果劳动者存在以下过错，公司有权解除劳动合同且无需承担经济补偿：

1. 试用期间不符合录用条件；
2. 严重违反公司规章制度；
3. 严重失职、营私舞弊，给公司造成重大损害；
4. 与其他公司建立劳动关系，对本单位工作造成严重影响或拒不改正；
5. 以欺诈、胁迫手段或乘人之危订立或变更劳动合同，导致合同无效；
6. 被依法追究刑事责任。

在这些情况下，公司解除劳动关系是合法的，因此无需支付赔偿。

二、公司需支付经济补偿的情形及标准

在以下情形中，公司解除劳动合同应向劳动者支付经济补偿：

1. 双方协商一致解除；
2. 劳动者因病或非因工负伤，医疗期满后无法从事原工作或另行安排的工作；
3. 劳动者不能胜任工作，经培训或调整岗位后仍不能胜任；
4. 劳动合同订立时的客观情况发生重大变化，无法履行且未达成变更协议；
5. 公司因破产重整、生产经营困难、转产等技术革新或经营方式调整需裁减人员；
6. 其他因客观经济情况变化导致合同无法履行而裁减人员；
7. 劳动合同期满，除用人单位维持或提高条件续订而劳动者不同意的情况外；
8. 用人单位被依法宣告破产、吊销营业执照、责令关闭、撤销或提前解散。

经济补偿的计算标准：

• 按劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资。
• 六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，支付半个月工资。
• 若劳动者月工资高于当地上年度职工月平均工资三倍，则按三倍数额支付，最高不超过十二年。
• 此处的“月工资”指劳动合同解除或终止前十二个月的平均工资。

三、公司违法解除需支付赔偿金的情形

如果公司违反《劳动合同法》规定解除或终止劳动合同，如无故解雇或在员工处于孕期、产期、哺乳期等不得解除的期间解除劳动关系，公司应依照上述经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。

举例说明：

• 若小李在公司工作3年7个月，且其前12个月的平均工资为8000元，则公司应支付的赔偿金为8000元/月 × 4月 × 2 = 64000元。

四、额外注意事项

• 如果公司未提前一个月通知员工即解雇，还需额外支付一个月工资作为代通知金。
• 劳动者在面对公司擅自解除劳动关系的情况时，应及时收集证据，如劳动合同、工资条、解雇通知等，以便在后续维权过程中提供有力支持。

五、维权途径

1. 与公司协商：劳动者可首先尝试与公司协商，要求继续履行合同或支付赔偿金。
2. 申请劳动仲裁：若协商不成，劳动者可向劳动争议仲裁委员会申请仲裁。
3. 提起诉讼：对仲裁裁决不服的劳动者，可在规定期限内向人民法院提起诉讼。

在处理此类纠纷时，建议劳动者咨询专业律师以获取更具体的法律建议和帮助，确保自身权益得到充分保护。综上所述，公司在解除劳动关系时，应根据具体情形判断是否需要支付经济补偿或赔偿金，并严格按照法律规定执行。