结论：劳动合同到期后没有续签但劳动者仍在工作的，双方形成事实劳动关系。此时，用人单位需承担未及时续签的法律责任，劳动者也享有相应的权益保障。以下是对此问题的详细分析：
一、事实劳动关系的认定
根据《中华人民共和国劳动合同法》及相关司法解释，劳动合同期满后，如果劳动者继续在原用人单位工作且用人单位未提出异议，双方即形成事实劳动关系。这意味着，尽管没有书面合同，但劳动者与用人单位之间的劳动关系依然有效，受劳动法保护。
二、用人单位的法律责任
支付双倍工资差额的风险
- 法律依据：《中华人民共和国劳动合同法》第八十二条。
- 适用情形：用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的。
- 计算方式：从劳动合同期满后满一个月的次日起算，至补订书面劳动合同的前一日止，用人单位需按月向劳动者支付二倍工资。例如，若劳动合同于2023年1月1日到期，劳动者继续工作至3月，期间公司未续签合同，则公司需自2月起支付双倍工资。
补订无固定期限劳动合同的义务
- 法律依据：《中华人民共和国劳动合同法》第十四条。
- 适用情形：用人单位自用工之日起满一年未与劳动者订立书面劳动合同的。
- 法律后果：视为用人单位已与劳动者订立了无固定期限劳动合同，用人单位应立即与劳动者补订无固定期限劳动合同。
经济补偿的责任
- 适用情形：若用人单位不愿续签劳动合同或劳动者因未续签等原因解除劳动关系，且不属于用人单位维持或者提高劳动合同约定条件续订劳动合同，劳动者不同意续订的情形。
- 支付标准：按劳动者在本单位工作年限，每满一年支付一个月工资，六个月以上不满一年的按一年计算，不满六个月的支付半个月工资的经济补偿。
三、劳动者的权益保障
要求签订书面合同的权利
- 劳动者有权要求用人单位与其签订书面劳动合同，以明确双方的权利和义务。如果用人单位拒绝签订，劳动者可以向当地劳动监察部门投诉或申请劳动仲裁。
主张双倍工资差额的权利
- 如前所述，如果用人单位未依法签订书面合同，劳动者有权主张双倍工资差额。这一权利的行使通常受到一定时效限制（如从应签订合同之日起计算一年内），因此劳动者应及时维护自己的权益。
解除劳动关系并主张经济补偿的权利
- 如果用人单位存在违法用工行为（如长期不签订劳动合同），劳动者有权选择解除劳动关系，并要求用人单位支付相应的经济补偿。
四、实际操作建议
及时沟通
- 劳动者应与用人单位就劳动合同续签事宜进行积极沟通，了解未续签的原因，并催促尽快办理相关手续。
保留证据
- 劳动者应妥善保存与工作相关的证据（如考勤记录、工资条、工作邮件等），以备不时之需。这些证据在维权过程中将起到关键作用。
寻求法律援助
- 如果与用人单位协商无果，劳动者可以向我咨询，通过法律途径维护自己的合法权益。作为专业律师，我将根据具体情况提供针对性的法律建议和帮助。
示例说明：假设员工小李的劳动合同于2023年6月30日到期，但公司未提出续签，小李继续在公司工作至9月。在此期间，小李与公司形成了事实劳动关系。如果公司未在7月31日前与小李续签合同，则公司需自8月起向小李支付双倍工资。若公司满一年仍未与小李签订书面合同，则视为已与小李订立了无固定期限劳动合同。
总结与提醒：劳动合同到期未续签但劳动者仍在工作的情况下，双方形成事实劳动关系。用人单位需承担未及时续签的法律责任，劳动者也享有相应的权益保障。建议双方及时沟通并办理相关手续，以避免不必要的法律纠纷。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。