在未签订劳动合同的情况下，劳动者确实有权要求用人单位进行相应的赔偿。以下是对这一问题的详细解答：
一、未签订劳动合同的双倍工资赔偿
法律依据：
根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十二条，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。这一规定旨在保护劳动者的权益，鼓励用人单位及时与劳动者签订书面劳动合同。
赔偿标准与计算：
- 赔偿标准：用人单位需额外支付一倍工资作为赔偿。
- 计算期限：从用工之日起满一个月的次日开始，直至双方订立书面劳动合同的前一日；若满一年时仍未签订，则计算至满一年的前一日，但最长不超过11个月。
- 实例：假设劳动者于2024年1月1日入职，月工资为5000元，且公司一直未与其签订书面劳动合同。那么，从2024年2月1日起，公司需支付双倍工资。若公司在2024年12月1日仍未签订合同，则公司需额外支付11个月的一倍工资，即55000元。
注意事项：
- 劳动者需及时主张权益，因为劳动争议申请仲裁的时效期间为一年，从当事人知道或应当知道其权利被侵害之日起计算。
- 劳动者应收集能证明劳动关系存在的证据，如工资支付凭证、工作证、考勤记录等，以支持自己的主张。
二、被辞退时的经济补偿
若劳动者在未签订劳动合同的情况下被辞退，且符合《劳动合同法》第四十六条规定的情形（如用人单位因经营需要裁员、合同到期不续签等），用人单位应向劳动者支付经济补偿。
补偿标准：
- 按工作年限计算：每满一年支付一个月工资；六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，支付半个月工资。
- 月工资定义：指劳动合同解除或终止前十二个月的平均工资。
- 最高限额：若劳动者月工资高于所在地区上年度职工月平均工资三倍的，经济补偿标准按职工月平均工资三倍的数额支付，年限最高不超过十二年。
实例：
假设劳动者工作3年，月工资为6000元，且被用人单位合法辞退。那么，用人单位需支付的经济补偿为3个月工资，即18000元。若劳动者被违法辞退，则用人单位需按经济补偿标准的二倍支付赔偿金，即36000元。
三、未缴纳社会保险的损害赔偿
若用人单位未给劳动者缴纳社会保险，导致劳动者无法享受社保待遇（如医疗费、养老保险待遇等），劳动者可要求用人单位赔偿相应损失。这一赔偿通常根据劳动者实际遭受的损失来确定。
四、主张赔偿的途径
- 与用人单位协商：首选方式，通过友好协商解决争议。
- 申请劳动仲裁：若协商不成，劳动者可向有管辖权的劳动争议仲裁委员会申请仲裁，提交必要材料以支持自己的主张。
- 提起诉讼：对仲裁结果不满的，劳动者可在收到裁决书后十五日内向人民法院提起诉讼。
总结与建议
- 用人单位责任：及时与劳动者签订书面劳动合同并缴纳社会保险，以避免法律风险。
- 劳动者权益：主动要求签订劳动合同，了解自身权益，并在必要时通过法律途径维护自己的合法权益。
希望以上解答能对您有所帮助。如需更专业的法律帮助，建议咨询专业律师。