关于履行法定职责申请书的答复时限，这通常取决于具体的法律法规以及相关部门的内部规定。不过，我可以从一般性的角度为你提供一些分析和建议：

1. 法律法规的普遍要求：

   • 在多数情况下，法律法规会规定行政机关或相关部门在收到公民、法人或其他组织的申请后，应在一定期限内作出答复。这个期限可能因具体事项的性质、复杂程度以及法律法规的特别规定而有所不同。
   • 例如，对于一些紧急或重要的申请，法律法规可能会要求相关部门在更短的期限内作出答复。

2. 具体部门的内部规定：

   • 除了法律法规的普遍要求外，各部门还可能根据自己的工作实际和内部管理需要，制定更为具体的答复时限规定。
   • 这些规定可能更加详细和具体，包括答复的具体流程、所需材料、审批环节等，以及每个环节的时间限制。

3. 实际操作中的建议：

   • 查阅相关法律法规：首先，你可以查阅与申请事项相关的法律法规，了解其中是否有对答复时限的明确规定。
   • 咨询相关部门：如果法律法规中没有明确规定，或者规定较为模糊，你可以直接咨询相关部门，了解他们的具体答复时限和流程。
   • 保留证据：在提交申请时，务必保留好提交的证据和回执，以便在需要时证明你已经按时提交了申请，并可以追踪申请的进展情况。
   • 及时跟进：如果超过了预期的答复时限，你可以及时与相关部门联系，了解申请的处理情况，并催促他们尽快作出答复。

4. 特殊情况下的处理：

   • 如果相关部门在答复时限内未能作出答复，或者答复不符合法律法规的要求，你可以考虑通过行政复议或行政诉讼等法律途径来维护自己的合法权益。

举例说明： 假设你向某部门提交了一份履行法定职责的申请书，要求该部门处理一起环境污染事件。根据相关法律法规，该部门应在收到申请后30日内作出答复。然而，如果30日后你仍未收到答复，你可以先与该部门联系，了解申请的处理情况。如果该部门未能给出合理解释或继续拖延，你可以考虑向上一级行政机关申请行政复议，或者向人民法院提起行政诉讼。

总之，履行法定职责申请书的答复时限因具体情况而异，但你可以通过查阅相关法律法规、咨询相关部门、保留证据和及时跟进等方式来确保自己的权益得到保障。如果你在处理此类事务时遇到任何法律问题，都可以直接向我咨询。