履行法定职责的法律依据主要来源于法律、行政法规、地方性法规等规范性文件的规定或授权。以下是对这一问题的详细解答：

一、法定职责的定义与法律依据

法定职责是指行政主体（包括行政机关和法律法规授权的组织）在法律、行政法规、地方性法规、自治条例、单行条例以及规章的明确规定下，进行与其职权范围一致的行政管理活动，实现其具体行政管理职能所应承担的职责和义务。这些职责的法律依据广泛，包括但不限于宪法、法律、行政法规、地方性法规等具有法律效力的规范性文件。例如，市场监督管理部门依据《市场监督管理法》等法律法规，对市场秩序进行监管，这就是其履行法定职责的具体体现。

二、法定职责的特点

1. 法定性：法定职责由法律明确规定，不能随意设定或变更。这意味着行政主体在履行职责时，必须严格依照法律的规定进行，不能超越法律的权限或忽视法律的要求。

2. 强制性：一旦法律规定了相关职责，行政主体就必须履行，否则将面临法律责任。这种强制性确保了行政主体在履行职责时的严肃性和责任感，也维护了法律的权威性和公信力。

3. 与权力相对应性：行政主体在享有权力的同时，必须承担相应的职责。这体现了权责统一的原则，即行政主体在行使权力时，必须同时考虑其应承担的职责和义务，确保权力的行使不会损害公共利益或他人权益。

三、不履行法定职责的法律后果

如果行政主体不履行法定职责，将承担相应的法律责任。这种责任可能包括行政处罚、民事赔偿甚至刑事责任，具体取决于不履行职责的性质、情节和后果。例如，如果市场监督管理部门未依法对市场秩序进行监管，导致市场秩序混乱，给消费者造成损失的，该部门及其相关责任人员可能面临行政处罚或民事赔偿等法律责任。

四、实践中的挑战与应对

在实践中，行政主体可能面临各种挑战，导致难以完全履行法定职责。例如，资源有限、人员不足、技术落后等都可能成为履行职责的障碍。为应对这些挑战，行政主体可以采取以下措施：

1. 加强法治宣传教育：提高行政机关工作人员的法治意识和权责一致的观念，使其更加明确自己的职责和义务，增强履行职责的自觉性和主动性。

2. 完善监督问责机制：建立健全的权力制约监督体系和严格的问责机制，对不履行法定职责的行为进行及时纠正和严肃处理，确保行政主体依法履职。

3. 提升履职能力：通过培训、引进人才、更新技术等方式，提升行政主体的履职能力，使其能够更好地应对各种挑战，有效履行法定职责。

五、具体案例与法律解释

以环境保护部门为例，其法定职责包括对环境质量的监测、对污染源的监管、对环境违法行为的查处等。如果环境保护部门未依法履行这些职责，导致环境质量恶化或污染事件频发，那么该部门及其相关责任人员将承担相应的法律责任。这种责任可能包括行政处罚（如警告、罚款、撤职等）、民事赔偿（如对受害者的赔偿）甚至刑事责任（如构成环境犯罪时的刑事处罚）。

综上所述，履行法定职责的法律依据主要来源于法律、行政法规、地方性法规等规范性文件的规定或授权。行政主体在履行职责时，必须严格依照法律的规定进行，确保权力的行使不会损害公共利益或他人权益。如果行政主体不履行法定职责，将承担相应的法律责任。因此，行政主体应当深刻认识法定职责的重要性，积极作为，确保各项职责得到有效履行。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。