公司合法辞退员工主要包括过失性辞退、无过失性辞退以及经济性裁员三种情形。以下是对这三种情形的详细解释：

一、过失性辞退

在劳动者存在严重过错的情况下，公司有权即时解除劳动合同，且无需提前通知或支付经济补偿。但公司需承担举证责任，证明劳动者确实存在过错。具体情形包括：

1. 试用期间不符合录用条件：

   • 公司需明确并告知录用条件，如学历、技能、工作经验等。
   • 在试用期内对员工进行客观考核，若员工未达到录用条件，公司可依法辞退。例如，程序员未熟练掌握特定编程语言，经考核不达标，公司可据此辞退。

2. 严重违反规章制度：

   • 公司的规章制度需内容合法、程序合规，并已向员工公示。
   • 员工若多次严重违反规章制度，如旷工、盗窃、打架斗殴等，公司有权依据制度辞退。例如，员工打架斗殴，违反公司明确规定，公司有权辞退。

3. 严重失职或营私舞弊造成重大损害：

   • “重大损害”的标准由公司规章制度明确规定，如经济损失达到一定数额。
   • 员工因严重失职、营私舞弊给公司造成重大损害，公司可辞退并追究其责任。例如，财务人员疏忽导致资金被骗，公司可辞退该员工并追究责任。

4. 与其他用人单位建立劳动关系影响本职工作：

   • 若员工同时与其他用人单位建立劳动关系，严重影响本职工作或拒不改正的，公司可解除劳动合同。例如，员工兼职影响本职工作，经提醒后仍不改正，公司可将其辞退。

5. 劳动合同无效：

   • 因欺诈、胁迫或乘人之危订立的劳动合同无效，公司可解除劳动合同。例如，员工伪造学历证书签订合同，公司发现后可辞退。

6. 被依法追究刑事责任：

   • 劳动者被人民法院判处刑罚或被免予刑事处罚，公司可依法辞退。例如，员工因犯罪被判刑，公司可将其辞退。

二、无过失性辞退

在劳动者无过错，但因特定情况导致劳动合同无法继续履行时，公司可提前三十日以书面形式通知员工或额外支付一个月工资后，解除劳动合同，但需支付经济补偿。具体情形包括：

1. 患病或非因工负伤：

   • 员工享有医疗期，期满后不能从事原工作也不能从事公司另行安排的工作，公司可依法辞退。例如，员工患病医疗期满后，无法胜任原工作，公司可辞退并支付经济补偿。

2. 不能胜任工作：

   • 公司需明确“不能胜任”的标准，并有考核依据。
   • 经培训或调整岗位后仍不能胜任，公司可解除劳动合同。例如，销售人员连续未完成任务，经培训和调整仍无法改善，公司可辞退并支付经济补偿。

3. 客观情况发生重大变化：

   • 如企业迁移、被兼并等导致劳动合同无法履行，且公司与员工协商未能就变更合同内容达成协议，公司可辞退员工。例如，公司因业务调整需要迁移至其他城市，员工不愿随迁，公司可辞退并支付经济补偿。

三、经济性裁员

在特定经济情况下，公司需要裁减人员二十人以上或裁减不足二十人但占企业职工总数百分之十以上的，可提前三十日向工会或全体职工说明情况，听取意见后，裁减人员方案经向劳动行政部门报告，可以裁减人员，并需支付经济补偿。具体情形包括：

1. 企业破产法重整；
2. 生产经营发生严重困难；
3. 企业转产、重大技术革新或经营方式调整，经变更劳动合同后仍需裁减人员；
4. 其他客观经济情况发生重大变化，导致劳动合同无法履行。

在进行经济性裁员时，公司应优先留用与本单位订立较长期限固定期限劳动合同、无固定期限劳动合同的人员，以及家庭无其他就业人员，有需要扶养的老人或者未成年人的人员。

总结与建议：

公司在辞退员工时，必须确保辞退行为的合法性，严格遵守《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定。对于不同类型的辞退，有不同的法律要求和程序。如果员工认为公司的辞退行为违法，可以通过法律途径维护自己的权益。因此，建议公司在辞退员工前，仔细评估辞退的合法性和合理性，并咨询专业法律意见，以确保辞退行为的合规性和避免潜在的法律风险。如果你有任何关于劳动工伤或劳动仲裁的问题，都可以直接向我咨询。