当房屋在出租后被出售时，租赁合同的履行主要遵循“买卖不破租赁”的原则，并涉及合同主体的变更处理。以下是对这一问题的详细解答：

一、“买卖不破租赁”原则的适用

核心规则：根据《民法典》第七百二十五条，房屋所有权在租赁期间内发生转移的，不影响已成立的租赁合同的效力。这意味着，新的房屋所有者（新房东）需要继续履行原租赁合同中的义务，承租人（租客）的权益受到法律保护。

典型场景：假设租客与原房东签订了一份为期两年的租约，并且已经入住了半年。在这期间，原房东决定将房屋出售给新房东。根据“买卖不破租赁”的原则，租客仍然有权继续居住在该房屋内，直到租约期满，新房东无权提前解除合同。

例外情况：当然，也存在一些例外。如果租赁合同中明确约定了“房屋转让时合同自动终止”，或者存在恶意串通损害第三方利益的情形（如虚假交易以规避债务），那么“买卖不破租赁”的原则将不适用。

二、合同履行的具体操作流程

1. 通知与确认：

   • 原房东需要在合理期限内以书面形式告知租客房屋即将转让的事宜，并提供新房东的联系方式。
   • 新房东在接手房屋后，应主动核实租赁合同的内容，包括租金标准、支付周期、押金金额等关键条款，以确保合同的顺利履行。

2. 权利义务的承继：

   • 租金收取：自产权变更登记日起，新房东有权收取后续的租金。但租金收取的方式和标准应严格按照原租赁合同的约定执行。
   • 维修责任：在租赁期内，如果房屋设施出现损坏，除非能证明损坏是由租客故意造成的，否则新房东应承担维修义务。

3. 押金处理：

   • 如果租客已经支付了押金，新房东在租期结束时应按照原租赁合同的条款退还押金，不得因房屋转让而增设退还条件或拒绝退还。

三、争议解决机制

1. 协商优先：在处理此类问题时，建议原房东、新房东和租客三方通过协商达成一致意见。可以签订补充协议来明确各自的权利和义务，如租金支付方式的变更、押金的转交流程等。

2. 法律途径：如果三方无法就租赁合同的履行达成一致意见，或者存在其他争议，可以依据相关法律法规通过法律途径解决。例如，可以依据《民法典》的相关规定来维护自己的合法权益，或者向当地的人民法院提起诉讼。

四、注意事项

1. 保护承租人权益：在整个房屋转让和租赁合同履行的过程中，应确保承租人的合法权益不受侵害。例如，应提供合理的搬迁时间、退还押金等。

2. 明确各方责任：在签订任何协议或进行任何操作前，应明确各方的权利和义务，以避免未来产生纠纷。

3. 遵守法律法规：在处理租赁合同时，应严格遵守相关法律法规的规定，确保所有行为的合法性。

综上所述，当房屋在出租后被出售时，租赁合同的履行应遵循“买卖不破租赁”的原则，并涉及合同主体的变更处理。通过明确的通知与确认、权利义务的承继、押金处理以及争议解决机制等步骤，可以确保租赁合同的顺利履行并保护各方的合法权益。