关于公司员工被公司辞退时的赔偿问题，这确实是一个涉及劳动法规定和具体情境判断的复杂问题。以下是我为您详细梳理的解答：

一、公司合法辞退的情形及赔偿

1. 无需支付赔偿或经济补偿的情形：
   • 如果员工在试用期间被证明不符合录用条件；
   • 或者严重违反了公司的规章制度；
   • 又或者存在严重失职、营私舞弊，给公司造成了重大损害；
   • 同时与其他公司建立劳动关系，对完成本单位工作任务造成严重影响且拒不改正；
   • 以欺诈、胁迫手段或乘人之危订立或变更劳动合同，导致合同无效；
   • 被依法追究刑事责任。

在这些情况下，公司有权解除劳动合同，且无需支付经济补偿或赔偿金。

1. 需支付经济补偿的情形：
   • 员工患病或非因工负伤，医疗期满后不能从事原工作，也不能从事由公司另行安排的工作；
   • 员工不能胜任工作，经过培训或调整工作岗位后，仍不能胜任；
   • 劳动合同订立时所依据的客观情况发生重大变化，致使劳动合同无法履行，且公司与员工未能就变更劳动合同内容达成协议；
   • 公司因破产重整、生产经营严重困难、转产、技术革新等原因需要裁减人员。

在这些情况下，公司需按员工在本单位工作的年限支付经济补偿，每满一年支付一个月工资的标准向员工支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，支付半个月工资的经济补偿。若员工月工资高于当地上年度职工月平均工资三倍的，经济补偿标准按职工月平均工资三倍的数额支付，且支付年限最高不超过十二年。

二、公司违法辞退的赔偿

如果公司违反《劳动合同法》的规定解除或终止劳动合同，员工有权要求继续履行合同。若员工不要求继续履行或合同已无法继续履行，公司需按经济补偿标准的二倍向员工支付赔偿金。例如，员工在公司工作了3年8个月，月平均工资为8000元，若公司违法辞退，赔偿金为8000元/月 × 4个月（工作年限折算为4年） × 2 = 64000元。

三、特殊情形下的赔偿

如果公司因员工怀孕、产期、哺乳期等法律禁止辞退的原因而将其辞退，赔偿金额可能会更高，甚至可能达到经济补偿金的两倍或更多。此外，如果双方未签订书面劳动合同，但已形成事实劳动关系，公司在辞退员工时仍需遵循相关法律法规，赔偿金额的具体确定需依据劳动法及相关规定，考虑因素包括工资、工作时长等。

四、建议与注意事项

• 了解法律法规：员工在被辞退后，应首先了解自己的辞退类型以及相关的法律法规，以便更好地维护自己的权益。
• 与公司协商：在明确自己的权益后，员工可以与公司进行协商，寻求合理的赔偿方案。
• 寻求法律援助：如果协商无果，员工可以寻求法律援助或通过诉讼途径维护自己的合法权益。
• 公司合规操作：公司也应严格遵守相关法律法规，确保辞退行为的合法性，避免不必要的法律纠纷和经济损失。

综上所述，公司辞退员工时的赔偿问题需根据具体情况和法律法规来判断。希望以上解答能对您有所帮助。如果您还有其他问题或需要进一步的法律咨询，请随时告诉我。