结论：当劳动合同到期后未续签但劳动者仍在继续工作时，劳动关系仍然存续，且用人单位可能需承担一定的法律责任，劳动者也享有相应的权益保障。以下是对此问题的详细分析：

一、劳动关系是否存续？

劳动关系仍然存续。根据《中华人民共和国劳动合同法》及相关司法解释，劳动合同期满后，如果用人单位未与劳动者办理终止或续订手续，而劳动者继续在用人单位工作，则双方形成事实劳动关系。这意味着，尽管没有书面合同，但劳动者与用人单位之间的劳动关系依然有效。

二、用人单位的法律责任

1. 支付双倍工资差额的风险：

   • 根据《劳动合同法》第八十二条，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。
   • 计算方式：若劳动合同期满后，劳动者继续工作超过一个月，用人单位需从第二个月起至补订劳动合同前一日或劳动关系终止前一日（以时间较早者为准），按月向劳动者支付两倍工资。其中一倍作为正常出勤工资，另一倍作为惩罚性赔偿。

2. 补订无固定期限劳动合同的义务：

   • 如果用人单位自用工之日起满一年未与劳动者订立书面劳动合同，根据法律规定，视为用人单位已与劳动者订立了无固定期限劳动合同。
   • 在这种情况下，用人单位应立即与劳动者补订无固定期限劳动合同，并承担由此产生的法律责任。

三、劳动者的权益保障

1. 要求签订书面合同的权利：

   • 劳动者有权要求用人单位与其签订书面劳动合同，以明确双方的权利和义务。
   • 如果用人单位拒绝签订，劳动者可以向当地劳动监察部门投诉或申请劳动仲裁。

2. 主张双倍工资差额的权利：

   • 如前所述，如果用人单位未依法签订书面合同，劳动者有权主张双倍工资差额。
   • 这一权利的行使通常受到一定时效限制（如从应签订合同之日起计算一年内），因此劳动者应及时维护自己的权益。

3. 解除劳动关系并主张经济补偿的权利：

   • 如果用人单位存在违法用工行为（如长期不签订劳动合同），劳动者有权选择解除劳动关系，并要求用人单位支付相应的经济补偿。
   • 经济补偿标准：按劳动者在本单位工作年限，每满一年支付一个月工资，六个月以上不满一年的按一年计算，不满六个月的支付半个月工资的经济补偿。

四、实际操作建议

1. 及时沟通：

   • 劳动者应与用人单位就劳动合同续签事宜进行积极沟通，了解未续签的原因，并催促尽快办理相关手续。

2. 保留证据：

   • 劳动者应妥善保存与工作相关的证据（如考勤记录、工资条、工作邮件等），以备不时之需。这些证据在劳动仲裁或诉讼中可能起到关键作用。

3. 寻求法律援助：

   • 如果与用人单位协商无果，劳动者可以寻求我的帮助，通过法律途径维护自己的合法权益。我可以根据具体情况提供专业的法律意见和诉讼策略。

示例说明：假设小李的劳动合同于2023年1月1日到期，但用人单位未与其续签。然而，小李仍继续在原岗位工作，且用人单位未提出异议。在这种情况下，小李与用人单位之间形成了事实劳动关系。如果用人单位在2023年2月1日仍未与小李续签劳动合同，那么从2月1日起至补订劳动合同前一日或劳动关系终止前一日（以时间较早者为准），用人单位需按月向小李支付两倍工资。如果用人单位在2024年1月1日仍未与小李签订书面劳动合同，则视为双方已订立了无固定期限劳动合同。

后续行动建议：如果你或你身边的人遇到了类似的情况，建议首先与用人单位进行沟通协商，了解未续签的原因并催促尽快办理相关手续。如果协商无果，可以寻求我的法律帮助，通过法律途径维护自己的合法权益。