结论前置：员工生病住院期间，公司一般不可以随意辞退员工，但存在特定法定情形时除外。以下是对此问题的详细分析：
一、医疗期内员工受法律保护
医疗期定义与长度：
- 根据《企业职工患病或非因工负伤医疗期规定》，医疗期是指企业职工因患病或非因工负伤停止工作治病休息，用人单位不得解除劳动合同的时限。
- 医疗期的具体长度根据员工实际参加工作年限和在本单位工作年限确定，从三个月到二十四个月不等。例如，实际工作年限十年以下，本单位工作年限五年以下的为三个月；五年以上为六个月。
解除劳动合同的限制：
- 在医疗期内，除非员工存在严重违反用人单位规章制度、严重失职、营私舞弊给用人单位造成重大损害等《劳动合同法》第三十九条规定的情形，否则用人单位不得解除劳动合同。
违法解除的后果：
- 如果公司在医疗期内违法解除劳动合同，员工有权要求继续履行劳动合同，或者要求用人单位按照经济补偿标准的二倍支付赔偿金。赔偿金的计算依据是劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准。
二、医疗期满后员工的处理
不能从事原工作或另行安排的工作：
- 当员工医疗期满后，如果仍然不能从事原工作，也不能从事由用人单位另行安排的工作，用人单位可以提前三十日以书面形式通知劳动者本人或者额外支付劳动者一个月工资后，依法解除劳动合同。
法定程序的履行：
- 在解除劳动合同前，用人单位需要履行相应的法定程序，如提供劳动能力鉴定等证据证明员工确实无法胜任工作。
三、特殊允许辞退的情况
严重违纪等过错情形：
- 即使员工处于生病住院期间，如果其存在严重违反用人单位规章制度、严重失职、营私舞弊给用人单位造成重大损害等《劳动合同法》第三十九条规定的过错情形，公司有权解除劳动合同，且无需支付经济补偿。
其他法定辞退情形：
- 如员工被依法追究刑事责任等，用人单位同样有权解除劳动合同。这些情况下的辞退与员工生病住院本身并无直接关系。
四、员工维权途径
与公司协商：
- 员工可以首先尝试与公司协商，要求恢复劳动关系或支付相应的赔偿金。
提起仲裁申请：
- 若协商不成，员工可以向劳动争议仲裁委员会提起仲裁申请，以维护自身合法权益。在申请仲裁时，员工需要提供相关证据，如医疗证明、劳动合同等，以证明公司的违法解除行为。
提起诉讼：
- 对仲裁裁决不服的，员工还可以向人民法院提起诉讼，进一步寻求法律救济。
总结与建议：员工生病住院期间，公司应严格遵守相关法律法规，不得随意辞退员工。只有在特定法定情形下，如医疗期满且不能从事原工作或另行安排的工作，或者员工存在严重违纪等过错情形时，公司才有权解除劳动合同。作为员工，在面临公司违法解除时，应积极维护自身权益，通过协商、仲裁或诉讼等途径寻求法律救济。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。