醉酒打人可能构成寻衅滋事罪，也可能构成故意伤害罪，具体需结合行为人的主观动机、行为方式及造成的后果综合判断。以下从不同角度为您详细分析：

一、构成寻衅滋事罪的情况

1. 行为表现：

   • 若醉酒者毫无缘由地殴打他人，特别是在公共场所无端对陌生路人进行拳打脚踢，其行为具有随意性，可能符合“随意殴打他人”的构成要件。例如，醉酒者在夜市无故挑衅路人并引发打斗，导致对方轻伤且现场秩序混乱，此类行为既满足“随意殴打他人”的客观要件，又体现“破坏社会秩序”的主观故意，符合寻衅滋事罪的认定标准。

2. 情节恶劣：

   • 寻衅滋事罪要求达到“情节恶劣”的程度，如多次随意殴打他人、持凶器随意殴打他人或造成他人身体伤害后果较为严重（如轻伤以上）等情形。若醉酒者在不同场合多次随意殴打他人，或使用棍棒等凶器殴打他人致轻伤，通常会被认定为情节恶劣。

3. 破坏社会秩序：

   • 寻衅滋事罪侵犯的客体是社会公共秩序。如果醉酒打人的行为发生在公共场所，引起公众恐慌，扰乱正常社会生活秩序，如导致周围群众躲避、店铺无法正常营业、交通秩序受影响等，则更有可能被认定为寻衅滋事罪。

4. 主观故意与行为动机：

   • 若醉酒后打人出于无端挑衅、释放情绪、逞强耍横等目的，且扰乱公共秩序，则可能构成寻衅滋事罪。

二、构成故意伤害罪的情况

1. 伤害后果：

   • 如果醉酒后打人导致他人重伤，则可能构成故意伤害罪。故意伤害罪主要关注的是行为对他人身体造成的实际伤害程度，而非行为人的主观动机或行为方式。

2. 特定矛盾纠纷：

   • 如果醉酒后打人是因为与他人存在特定的矛盾纠纷（如经济纠纷、感情纠葛等），且行为没有超出解决纠纷的合理范围，则一般不宜认定为寻衅滋事罪，而可能构成故意伤害罪。例如，因债务纠纷在争吵中动手打人，导致对方受伤，若伤害程度达到轻伤以上，则可能构成故意伤害罪。

三、不构成犯罪但需承担行政责任和民事责任的情况

1. 情节显著轻微：

   • 即使醉酒者有打人的行为，但如果情节显著轻微，危害不大，根据《刑法》的相关规定，不认为是犯罪。例如，醉酒者轻轻推搡了一下他人，没有造成任何身体伤害，并及时认识到自己的错误并道歉，这种情况下一般不会以寻衅滋事罪或故意伤害罪论处。

2. 行政处罚：

   • 如果行为未达到刑事犯罪的程度，但违反了治安管理法规，行为人可能面临行政处罚，如拘留、罚款等。例如，醉酒者因言语冲突动手打人，造成他人轻微伤以下伤害，通常按照《中华人民共和国治安管理处罚法》进行处理。

3. 民事赔偿责任：

   • 无论醉酒后打人行为是否构成犯罪或仅受治安管理处罚，打人者均需承担民事赔偿责任，赔偿受害者因受伤所遭受的医疗费、误工费等损失。

四、法律建议

1. 保持冷静：

   • 饮酒后应保持冷静，控制好自己的情绪和行为，避免因一时冲动而触犯法律，引发不必要的麻烦和损失。

2. 及时报警：

   • 如遇醉酒打人事件，受害者应及时报警并寻求法律援助，以维护自身合法权益。同时，打人者也应积极承担责任，接受法律制裁，并赔偿受害者的损失。

3. 咨询专业律师：

   • 在处理此类案件时，应全面考虑各种因素，确保法律的公正适用。如果您或您身边的人遇到类似情况，可以直接向我咨询，我会根据具体情况为您提供专业的法律建议。

综上所述，醉酒打人是否构成寻衅滋事罪或故意伤害罪，需根据具体情况进行综合判断。在处理此类案件时，应全面考虑行为人的主观故意、行为动机、行为表现、伤害后果以及是否破坏公共秩序等多方面因素。