结论：连续签订两次固定期限劳动合同后，若公司不续签且劳动者不存在可被解除劳动合同的情形，公司的行为可能违法。劳动者有权要求公司续签无固定期限劳动合同，或支付相应的赔偿金（通常为经济补偿标准的二倍）。
一、法律背景与依据
根据《中华人民共和国劳动合同法》第十四条的规定，有下列情形之一，劳动者提出或者同意续订、订立劳动合同的，除劳动者提出订立固定期限劳动合同外，应当订立无固定期限劳动合同：
- 连续订立二次固定期限劳动合同，且劳动者没有本法第三十九条和第四十条第一项、第二项规定的情形，续订劳动合同的。
这意味着，在连续签订两次固定期限劳动合同后，如果劳动者没有违反公司规章制度、严重失职等情形，且劳动者提出续订劳动合同，公司应当与劳动者订立无固定期限劳动合同。
二、公司不续签的法律后果
如果公司违反上述规定，不续签劳动合同，劳动者有权要求公司支付赔偿金。赔偿金的标准通常为经济补偿标准的二倍。经济补偿按劳动者在本单位工作的年限计算，具体为：
- 每满一年支付一个月工资；
- 六个月以上不满一年的，按一年计算；
- 不满六个月的，支付半个月工资。
这里的月工资指劳动合同解除或终止前十二个月的平均工资。
三、维权途径与建议
与公司沟通协商：
- 首先尝试与公司进行友好沟通，明确指出法律规定和公司应履行的义务，要求续签无固定期限劳动合同或支付相应赔偿金。
- 沟通时可采用书面形式，如电子邮件、发函等，以留下记录并表明态度。
寻求劳动监察部门帮助：
- 若协商无果，可向当地劳动监察部门投诉，提交相关证据材料，包括劳动合同、工资支付记录、工作证等，以及沟通记录。
- 劳动监察部门将调查核实公司的违法行为，并责令其改正。
申请劳动仲裁：
- 如劳动监察部门的处理未能解决问题，劳动者可申请劳动仲裁。
- 需撰写仲裁申请书，详细说明仲裁请求、事实和理由，并准备好相关证据材料。
- 将仲裁申请书和证据材料一并提交到有管辖权的劳动仲裁委员会，参加庭审并陈述自己的主张。
向法院起诉：
- 若对劳动仲裁结果不满意，劳动者可在规定时间内向人民法院提起诉讼。
- 诉讼过程相对复杂，需按照法院要求进行各项程序，如提交起诉状、参加庭审等。
四、注意事项
- 在整个维权过程中，劳动者应始终注意收集和保存好相关证据，如劳动合同、工资支付记录、沟通记录等，以增加维权成功的几率。
- 了解自己的权益和法律规定是维权的基础，避免被公司的不当行为所侵害。
- 若公司坚持不续签且未支付相应赔偿金或经济补偿，劳动者的合法权益已受到损害，应及时采取法律手段维护自身权益。
作为专业律师，我建议你根据自己的具体情况，选择合适的维权途径。如果你有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。