结论前置：用人单位在没有与员工签订书面劳动合同的情况下辞退员工，确实需要承担相应的赔偿责任。这主要包括两部分：一是因未签订书面劳动合同而需支付的双倍工资赔偿；二是因违法解除劳动关系而需支付的赔偿金。具体赔偿数额需根据员工的实际工作年限、月工资水平及辞退原因等因素综合确定。
一、未签订书面劳动合同的双倍工资赔偿
法律依据：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十二条，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。这一规定旨在保障劳动者的合法权益，促使用人单位及时与员工签订劳动合同。
赔偿计算：
- 赔偿起始时间为用工满一个月后的第二天。
- 赔偿截止时间为实际用工结束日（即辞退日），但最长不超过11个月。
- 计算公式：双倍工资赔偿 = 月工资 × (实际工作月数 - 1)（若实际工作月数超过12个月，则按11个月计算）。
- 举例说明：假设员工于2024年1月1日入职，未签合同，10月1日被辞退，月工资为5000元。则公司需支付2月1日至10月1日的双倍工资作为赔偿，共9个月，即5000元/月 × 9个月 = 45000元（但需注意，这里实际支付的是双倍工资差额，即已支付的一倍工资需扣除，所以实际新增赔偿为45000元-已支付的45000元中的一倍部分（即实际已支付的工资），简化为直接支付9个月的工资作为赔偿表述，实际操作中为双倍工资差额的补足）。更准确的表述应为：公司需额外支付从2月1日至10月1日，共9个月的工资作为双倍工资的赔偿（即除正常工资外，再支付9个月的工资）。
二、违法解除劳动关系的赔偿
合法与违法解除的界定：
- 合法解除：若辞退符合《劳动合同法》规定的情形，如员工严重违反规章制度、被依法追究刑事责任等，用人单位无需支付赔偿。
- 违法解除：若无合法理由辞退员工，则属于违法解除劳动关系。
赔偿依据与计算：
- 根据《劳动合同法》第八十七条，用人单位违法解除或终止劳动合同的，应按经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。
- 经济补偿标准按劳动者在本单位工作的年限计算：每满一年支付一个月工资；六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，支付半个月工资。
- 月工资指劳动合同解除或终止前十二个月的平均工资。若劳动者月工资高于当地上年度职工月平均工资三倍的，赔偿标准按三倍数额支付，最高不超过十二年。
- 计算公式：赔偿金 = 经济补偿标准 × 2 = (工作年限 × 月工资)（若月工资高于当地上年度职工月平均工资三倍，则按三倍计算，且最高不超过十二年）× 2。
- 举例说明：假设员工在公司工作了3年零3个月，月平均工资5000元，被无理由辞退。则公司应向员工支付赔偿金为：3.5个月 × 5000元/月 × 2 = 35000元。
三、劳动者维权途径
劳动者为维护自身权益，应收集能证明劳动关系存在的证据（如工资支付记录、工作证、考勤记录等），并可通过以下途径解决纠纷：
- 与用人单位协商；
- 向劳动监察部门投诉；
- 申请劳动仲裁。
总结与建议：
用人单位在未签订劳动合同的情况下辞退员工，需根据具体情况承担相应的赔偿责任。作为劳动者，应了解自己的权益，并在必要时采取法律手段维护自身合法权益。同时，建议用人单位规范用工行为，及时与员工签订劳动合同，以避免不必要的法律纠纷。如果你或你身边的人遇到了类似的问题，可以直接向我咨询，我会根据你的具体情况提供详细的法律建议。