面对肇事方不愿意垫付医药费的情况，受害者及其家属不必过于焦虑，可以通过以下途径来妥善处理：
一、明确法律义务与责任划分
肇事方的法律义务：
- 根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，侵害他人造成人身损害的，肇事方应当赔偿医疗费、护理费等为治疗和康复支出的合理费用。因此，肇事方在法律上有义务承担受害者的医疗费用。
- 同时，《中华人民共和国道路交通安全法》第七十五条也规定，医疗机构对交通事故中的受伤人员应当及时抢救，不得因抢救费用未及时支付而拖延救治。肇事车辆参加机动车第三者责任强制保险的，由保险公司在责任限额范围内支付抢救费用。
责任认定：
- 在事故发生后，应及时报警并等待交警部门出具事故责任认定书，明确双方的责任比例。这是后续索赔的重要依据。
二、采取积极措施应对
自行垫付与保留证据：
- 如果经济条件允许，受害者可以先自行垫付医药费，同时保留好所有医疗票据和费用清单。这些证据在后续的保险理赔或法律诉讼中至关重要。
申请保险公司垫付：
- 如果肇事车辆购买了交强险或商业三者险，可以联系保险公司申请垫付部分或全部医疗费用。保险公司通常会在核实情况后，按照保险合同的约定进行垫付。
- 交强险垫付流程：立即联系肇事车辆的交强险承保公司，要求其在责任限额内垫付抢救费用。需提供交警部门出具的事故认定书及医疗证明。
申请道路交通事故社会救助基金：
- 对于抢救费用超过交强险责任限额、肇事机动车未参加交强险或肇事后逃逸的情况，受害者可以申请道路交通事故社会救助基金。
- 申请流程：由医疗机构或受害人及时向当地救助基金管理机构提出垫付申请，并提供相关证明材料。救助基金管理机构审核通过后，将按规定进行垫付，并在垫付后有权向道路交通事故责任人追偿。
通过法律途径解决：
- 若肇事方仍拒绝垫付且协商无果，受害者可以向人民法院提起民事诉讼，要求肇事方赔偿包括医疗费在内的各项损失。
- 诉讼流程：向事故发生地或被告住所地的法院提起民事诉讼，要求肇事方及保险公司承担相应的赔偿责任。为确保判决能够执行，受害方可在起诉前或诉讼期间申请诉前或诉讼财产保全，查封、扣押肇事方的相关财产。
三、注意事项与建议
保持冷静与理性：
- 在处理此类纠纷时，应保持冷静和理性，避免情绪化的行为影响问题的解决。
及时咨询与沟通：
- 在整个过程中，如有任何疑问或需要进一步的法律建议，可以直接向我咨询。我会根据你的具体情况，提供更具体的法律指导。
关注诉讼时效：
- 注意人身损害赔偿的诉讼时效问题，确保在法定时效期内提起诉讼以维护自身权益。一般来说，诉讼时效期间为三年，自权利人知道或者应当知道权利受到损害以及义务人之日起计算。
综上所述，面对肇事方不愿意垫付医药费的情况，受害者及其家属应通过明确法律义务、采取积极措施、关注注意事项与建议等途径来维护自身权益。希望这些建议能对你有所帮助，如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。