当农民工遭遇拖欠工资问题时，为了快速有效地解决，可以考虑向以下几个部门求助：

1. 劳动保障监察部门

   • 特点与优势：劳动保障监察部门是专门负责监督用人单位遵守劳动法律法规的行政部门，具有快速介入和高效处理的特点。他们有权对用人单位进行监督检查，一旦接到投诉，能迅速前往调查核实。
   • 处理方式：农民工可通过拨打全国统一的劳动保障监察投诉举报电话12333或前往当地劳动保障监察机构进行现场投诉。接到投诉后，部门将在5个工作日内决定是否受理，并在立案之日起60个工作日内（复杂情况可延长30个工作日）完成调查。对于证据确凿的案件，将责令用人单位迅速支付拖欠工资。
   • 所需材料：携带身份证件及相关证据材料（如劳动合同、考勤记录、工资条等）前往当地劳动监察大队办公地点当面投诉。

2. 劳动争议调解组织

   • 特点：劳动争议调解组织以调解为主，程序灵活高效，有助于双方快速达成和解协议，解决工资纠纷。
   • 申请途径与处理：农民工可向企业劳动争议调解委员会、基层人民调解组织或乡镇、街道设立的劳动争议调解组织提出调解申请。调解组织将在3个工作日内决定是否受理，并在受理后15日内完成调解工作。若双方达成调解协议，用人单位需按协议及时支付工资。

3. 建设领域清欠办公室（针对建筑行业）

   • 适用对象：特别适用于建筑行业农民工的工资拖欠问题。
   • 处理方式：农民工可通过当地政府政务服务热线或建设行政主管部门了解建设领域清欠办公室的办公地址和联系方式，并提出投诉。该部门将对涉及的工程项目进行调查，核实拖欠情况，并责令建设单位和施工企业限期支付工资。对于拒不支付的企业，将采取进一步处罚措施，如限制招投标等。

4. 劳动争议仲裁委员会

   • 特点与优势：劳动争议仲裁是一种准司法性质的解决途径，其裁决具有法律效力。与诉讼相比，仲裁程序相对简单，审理期限较短，一般从受理申请之日起45日内结束，复杂案件可延长15日。
   • 申请流程：农民工需在知道或应当知道权利被侵害之日起一年内，向劳动争议仲裁委员会提交书面申请及相关证据材料。仲裁委员会将在五日内决定是否受理，并在规定时间内安排开庭审理。仲裁庭根据双方提供的证据进行审理，并在规定期限内作出裁决。

5. 法院

   • 处理方式与优势：
     • 申请支付令：对于证据充分、事实清晰的案件，农民工可向法院申请支付令。法院审查后符合条件者，会在15日内向用人单位发出支付令。用人单位在规定时间内既不提出异议又不履行支付令的，农民工可申请强制执行。
     • 普通诉讼程序：若案件进入普通诉讼程序，法院会依据法律和事实进行公正审判，最终判决具有强制执行力。
   • 操作流程：申请支付令需提交书面申请，写明请求给付金钱的数量、所根据的事实和证据。进入普通诉讼程序则需提交起诉状、相关证据，并按照法院的程序参加庭审等环节。

综合建议：

• 在实际操作中，农民工可以同时向多个部门反映情况以加快问题解决进程。例如，可以先向劳动保障监察部门投诉，同时申请劳动争议调解组织进行调解。
• 在维权过程中，应积极收集和保留相关证据材料，如劳动合同、考勤记录、工资条等，以便更好地维护自己的合法权益。
• 了解各部门的处理特点和优势，选择最适合自己的维权途径。如果对法律程序不熟悉，可以寻求法律援助机构的帮助，他们可以提供免费的法律咨询和代理服务。

希望这些建议能帮助你快速有效地解决拖欠工资问题。如果有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。