遛狗不牵绳的行为违法，其管理主要涉及公安机关，同时城市管理部门、动物卫生监督机构等行政部门也根据各自职责起辅助作用。以下是对这一问题的详细分析：

1. 公安机关的管理责任：

   • 主要职责：公安机关是养狗不牵绳行为的主要管理部门。依据《中华人民共和国治安管理处罚法》，对于饲养动物干扰他人正常生活、造成恐吓或伤害他人的行为，公安机关有权进行处罚。具体处罚措施包括警告、罚款（通常在200元至500元之间，具体数额可能因地区而异），甚至更严厉的治安处罚。
   • 法律依据：《中华人民共和国治安管理处罚法》明确规定，饲养动物干扰他人正常生活的，处警告；警告后不改正的，或者放任动物恐吓他人的，将处以罚款。若驱使动物伤害他人，则依照更严厉的规定处罚。此外，新修订的《中华人民共和国动物防疫法》也规定，携带犬只出户时，应当按照规定佩戴犬牌并采取系犬绳等措施，防止犬只伤人、疫病传播。

2. 城市管理部门的辅助作用：

   • 职责范围：城市管理部门（如综合执法局）主要负责城市市容和环境卫生的综合管理。当遛狗不牵绳导致狗随地大小便等影响环境卫生的情况时，城市管理部门有权依据相关管理规定进行处理。
   • 法律依据：虽然《城市市容和环境卫生管理条例》并未直接规定遛狗不牵绳的处理措施，但公民有维护城市市容和环境卫生的义务，对于违反规定影响环境卫生的行为，城市管理部门可依法进行管理和处罚。在实际操作中，这通常包括对遛狗不牵绳导致环境卫生问题的行为进行劝阻、警告或罚款。

3. 动物卫生监督机构的监管职责：

   • 主要职责：动物卫生监督机构负责动物防疫及相关监督管理工作。如果遛狗不牵绳且犬只未按规定进行免疫接种，可能对公共卫生安全构成威胁，此时动物卫生监督机构可以依法进行处理。
   • 法律依据：《中华人民共和国动物防疫法》要求饲养犬只应按规定定期进行狂犬病免疫接种，并携带犬只出户时应采取系犬绳等措施。违反规定的，动物卫生监督机构可责令改正、给予警告，并可处以相应罚款。

4. 其他相关方的责任与作用：

   • 物业与居委会：在小区内，物业和居委会也承担着一定的管理责任。物业可以通过监控、巡逻发现违规行为，及时劝阻并上报；居委会则可以组织宣传教育活动，提高居民对文明养犬的认识，调解因养犬引发的邻里纠纷。
   • 普通居民：作为城市的一份子，普通居民也有权对遛狗不牵绳的行为进行监督与举报。可以选择报警或拨打市民热线（如12345）进行反映，以便相关部门及时介入处理。

总结与建议： 遛狗不牵绳的行为不仅违反了法律法规，也影响了城市公共秩序和居民的生活质量。因此，各相关管理部门应依据各自职责加强监管和处罚力度。同时，作为犬只的主人，应当自觉遵守法律法规，文明养犬，为自己和他人的安全负责。如果您遇到遛狗不牵绳等违法行为，可以直接向我咨询相关法律问题，我会为您提供专业的法律建议。