公司辞退员工时的赔偿问题，需根据辞退的具体原因、情形以及劳动合同的约定来确定。以下是对不同情形下赔偿问题的详细分析：
无需支付经济补偿或赔偿金的情形：
- 员工存在过错：如员工在试用期间被证明不符合录用条件、严重违反用人单位的规章制度、严重失职或营私舞弊给用人单位造成重大损害、被依法追究刑事责任等，用人单位可以解除劳动合同，且无需支付经济补偿或赔偿金。
需支付经济补偿的情形：
- 协商解除：用人单位与劳动者协商一致解除劳动合同，且是用人单位提出解除动议的，需支付经济补偿。
- 无过失性辞退：如劳动者患病或非因工负伤，在规定的医疗期满后不能从事原工作，也不能从事由用人单位另行安排的工作；或者劳动者不能胜任工作，经过培训或者调整工作岗位，仍不能胜任工作；或者劳动合同订立时所依据的客观情况发生重大变化，致使劳动合同无法履行，经用人单位与劳动者协商，未能就变更劳动合同内容达成协议等，且用人单位提前三十日以书面形式通知劳动者本人或者额外支付劳动者一个月工资后，可以解除劳动合同，但需支付经济补偿。
- 经济性裁员：因企业破产重整、生产经营严重困难等原因需要裁减人员的，且符合法定条件的，需支付经济补偿。
- 劳动合同终止：如劳动合同期满，除用人单位维持或提高劳动合同约定条件续订而劳动者不同意续订的情形外，终止固定期限劳动合同的；或者用人单位被依法宣告破产、被吊销营业执照、责令关闭、撤销或决定提前解散而终止劳动合同的，也需支付经济补偿。
经济补偿的计算标准：
- 经济补偿按劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，支付半个月工资的经济补偿。
- 如果劳动者月工资高于当地职工月平均工资三倍的，向其支付经济补偿的标准按职工月平均工资三倍的数额支付，向其支付经济补偿的年限最高不超过十二年。这里的月工资指劳动合同解除或终止前十二个月的平均工资。
计算公式：
- 经济补偿 = 工作年限 × 月工资（或当地职工月平均工资三倍，以较低者为准，且最高不超过十二年）
- 需支付赔偿金的情形：
- 违法辞退：如果用人单位违反《劳动合同法》规定解除或终止劳动合同，如无故辞退孕期、产期、哺乳期内的女职工，或者未按照法定程序进行经济性裁员等，需按照经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。
赔偿金的计算标准：
- 其他可能的赔偿：
- 未提前通知的代通知金：若公司未提前30天以书面形式通知员工辞退，需额外支付一个月工资作为代通知金。
- 应休未休年假工资：员工在被辞退时有应休未休的年假，公司应按日工资收入的300%支付未休年假工资报酬（其中包含用人单位支付职工正常工作期间的工资收入）。
- 加班工资：若员工有加班但公司未支付加班工资，员工可在被辞退时要求支付。
特殊保护群体的限制性规定：
- 对于从事职业病危害作业未进行离岗前健康检查、患职业病或因工负伤丧失劳动能力、连续工作满15年且距退休不足5年的员工，用人单位不得单方解除劳动合同，否则需支付赔偿金。
建议：
- 在面临辞退问题时，无论是用人单位还是劳动者，都应确保程序的合法性，如提前通知、听取工会或职工意见等，并保留好相关证据。
- 如果用人单位拒付补偿或赔偿，劳动者可以向劳动监察部门投诉或向劳动争议仲裁委员会申请仲裁，对仲裁结果不服的，还可以向人民法院提起诉讼。
综上所述，公司辞退员工的赔偿问题涉及多个方面，具体处理时需结合实际情况和当地劳动法规进行综合判断。如果你有具体的法律问题或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。