结论前置：根据《中华人民共和国民事诉讼法》的相关规定，再审程序是当事人、人民法院及人民检察院在符合法定条件下，对已经发生法律效力的判决、裁定、调解书（特定情形下）认为确有错误时，依法再次进行审理的程序。以下是对再审规定的详细解读：
一、再审的启动主体及情形
当事人申请再审：
- 法定情形：包括有新的证据足以推翻原判决、裁定；原判决、裁定认定的基本事实缺乏证据证明；主要证据是伪造或未经质证；当事人因客观原因不能自行收集的主要证据未获法院调查收集；原判决、裁定适用法律错误；审判组织不合法或应回避人员未回避；无诉讼行为能力人未经法定代理人代为诉讼；剥夺当事人辩论权利；未经传票传唤缺席判决；原判决、裁定遗漏或超出诉讼请求；据以作出原判决、裁定的法律文书被撤销或变更；审判人员有贪污受贿、徇私舞弊、枉法裁判行为等。
- 举例说明：假设在一起合同纠纷案件中，原审判决后，当事人发现了新的关键证据，该证据足以证明原审判决中的事实认定存在错误，那么当事人可以在法定期限内申请再审。
人民法院决定再审：
- 各级人民法院院长对本院已生效的判决、裁定、调解书发现确有错误，应提交审判委员会讨论决定。最高人民法院或上级人民法院对下级法院已生效的判决、裁定、调解书发现确有错误，有权提审或指令下级法院再审。
- 举例说明：如果某中级人民法院在复查一起已生效的案件时，发现原审判决存在法律适用错误，那么该法院院长可以提交审判委员会讨论，并决定是否再审。
人民检察院抗诉或检察建议启动再审：
- 最高人民检察院对各级法院已生效的判决、裁定，上级检察院对下级法院已生效的判决、裁定，发现有再审情形或调解书损害国家利益、社会公共利益的，应提出抗诉。地方各级检察院对同级法院已生效的判决、裁定，可提出检察建议或提请上级检察院抗诉。
- 举例说明：在一起涉及公共利益的案件中，如果检察院发现原审调解书损害了社会公共利益，那么检察院可以提出抗诉，启动再审程序。
二、再审案件的审查与审理
审查程序：
- 人民法院应自收到再审申请书之日起三个月内审查，符合法定情形的，裁定再审；不符合的，裁定驳回申请。特殊情况可延长。
审理法院：
- 因当事人申请裁定再审的案件由中级人民法院以上的人民法院审理，但当事人选择向基层法院申请的除外。最高院、高院裁定再审的案件，可由本院再审或交其他法院再审，也可交原审法院再审。
审理程序：
- 再审案件适用原审程序。一审案件按一审程序审理，所作判决、裁定可上诉；二审案件或上级法院提审的案件按二审程序审理，所作判决、裁定为终审判决、裁定。
审理范围：
- 人民法院应在具体的再审请求范围内或在抗诉支持当事人请求的范围内审理再审案件。当事人超出原审范围增加、变更诉讼请求的，一般不属于再审审理范围，但涉及国家利益、社会公共利益或原审未予审理且客观上不能形成其他诉讼的除外。
三、再审案件的调解及裁判
调解：
- 人民法院审理再审案件，可以进行调解。当事人在再审中经调解达成协议的，法院应制作调解书。调解书经各方当事人签收后，即具有法律效力，原判决、裁定视为被撤销。
裁判：
- 再审案件经过重新审理后，法院应根据不同情况作出相应裁判：原判决、裁定认定事实清楚、适用法律正确的，应予维持；认定事实、适用法律虽有瑕疵，但裁判结果正确的，纠正瑕疵后予以维持；认定事实、适用法律错误，导致裁判结果错误的，依法改判、撤销或变更。
四、其他注意事项
- 当事人对已经发生法律效力的解除婚姻关系的判决、调解书，不得申请再审。
- 申请再审不得超出原审诉讼请求，在再审案件审理过程中，当事人也不得变更、增加诉讼请求或者提出反诉（原审已反诉的除外）。
法律建议：如果您认为已经发生法律效力的判决、裁定或调解书存在错误，且符合再审的法定情形，建议您在法定期限内及时申请再审，并准备好充分的证据材料以支持您的再审请求。同时，也请注意再审程序的复杂性和耗时性，做好充分的心理准备。如果您在再审过程中遇到任何法律问题或困惑，欢迎随时向我咨询。