结论前置：关于打架斗殴涉嫌寻衅滋事罪的拘留天数，需根据案件具体情况判断是行政拘留还是刑事拘留，行政拘留最长15天，刑事拘留最长37天，但最终拘留期限需由法院根据判决结果确定。
详细分析：
一、行政拘留
若打架斗殴行为情节较轻，尚未构成犯罪，那么依据《中华人民共和国治安管理处罚法》的相关规定，将面临行政拘留及罚款的处罚。具体来说：
- 一般情况：对于结伙斗殴等寻衅滋事行为，将处五日以上十日以下拘留，并可并处五百元以下罚款。
- 情节较重：若情节较为严重，如多次斗殴、造成一定社会影响等，将处十日以上十五日以下拘留，并可并处一千元以下罚款。
在此情况下，拘留的天数相对较短，且主要目的是对违法行为人进行教育和惩罚，防止其再次违法。
二、刑事拘留
若打架斗殴行为涉嫌构成犯罪，即触犯了《中华人民共和国刑法》第二百九十三条规定的寻衅滋事罪，那么情况将更为严重。此时，犯罪嫌疑人可能面临刑事拘留，甚至后续的刑事审判和刑罚。
刑事拘留的一般规定：
- 根据《中华人民共和国刑事诉讼法》的相关规定，公安机关在执行刑事拘留时，若认为需要逮捕犯罪嫌疑人，应提请人民检察院审查批准。
- 在一般情况下，公安机关提请批捕的时间为3日，特殊情况下可延长1至4日。人民检察院则需在接到提请批准逮捕书后的7日内作出决定。
- 因此，对于寻衅滋事罪，一般情况下刑事拘留的最长时间为14天（3日+特殊情况延长1-4日+检察院审查7日）。
特殊情况的刑事拘留：
- 对于流窜作案、多次作案或结伙作案的重大嫌疑分子，公安机关提请审查批准的时间可以延长至30日。
- 加上检察院审查批捕的7日，这种情况下刑事拘留的最长时间可达37天。
刑事拘留与最终判决的关系：
- 需要强调的是，刑事拘留仅是一种临时性的强制措施，并非最终处罚。
- 若经侦查、审查起诉后，法院认定构成寻衅滋事罪，将依据《中华人民共和国刑法》第二百九十三条的规定进行定罪量刑。此时，拘留的期限将根据判决书的内容来确定，可能是几个月、几年甚至更长。
三、法律建议
- 保持冷静，避免暴力：在日常生活中，遇到纠纷时应保持冷静，通过合法途径解决问题，避免采取暴力手段导致事态升级。
- 及时咨询律师：若不幸涉及打架斗殴或寻衅滋事等法律问题，建议尽快向我咨询，以便准确了解自身法律地位、可能的法律后果及应对策略。
- 配合调查，如实陈述：在司法程序中，应积极配合公安机关的调查工作，如实陈述事实，以便司法机关能够准确判断案件性质，作出公正裁决。
综上所述，打架斗殴涉嫌寻衅滋事罪的拘留天数并非固定不变，而是根据案件的具体情况和司法程序的进展而定的。因此，在处理此类问题时，应保持冷静、及时咨询律师，并积极配合司法机关的调查工作。