在父亲去世而母亲仍然健在的情况下，关于如何继承父亲名下的存款，这是一个涉及法律继承流程的问题，我会根据《中华人民共和国民法典》及相关法律规定，为您详细解答。
一、明确遗产范围与性质
首先，我们需要明确父亲去世后留下的存款是否属于遗产。一般来说，父亲在其婚姻期间积累的存款，若未明确约定为个人所有，则属于夫妻共同财产。在这种情况下，存款的一半自然归母亲所有，作为她的个人财产，而另一半则作为父亲的遗产进行分配。如果存款是父亲婚前个人财产或者有明确约定为个人所有，那么全部存款都将作为遗产。
二、确定继承方式
继承方式主要有两种：遗嘱继承和法定继承。
遗嘱继承：如果父亲生前立有合法有效的遗嘱，并且明确指定了存款的继承人，那么我们应当严格遵循遗嘱的内容进行继承。
法定继承：如果父亲没有留下遗嘱，或者遗嘱无效，那么我们将按照法定继承的顺序和规则进行继承。
三、法定继承顺序与份额
在法定继承中，根据《中华人民共和国民法典》的规定，遗产按照下列顺序继承：
第一顺序继承人：包括配偶（即母亲）、子女、父母（若在世）。在这个案例中，我们假设父亲的父母已经去世或者放弃继承权，因此主要考虑母亲和子女作为第一顺序继承人。
继承份额：同一顺序的继承人原则上应当均等分配遗产。但是，如果存在特殊情况，比如某个继承人对父亲尽了主要扶养义务，或者某个继承人生活困难且缺乏劳动能力，那么在分配遗产时应当给予适当照顾，可以多分一些。相反，如果某个继承人有扶养能力和条件却不尽扶养义务，那么应当不分或者少分。
四、办理继承手续
确定了继承人和继承份额后，我们需要办理相关的继承手续：
准备证明材料：包括父亲的死亡证明（由公安机关出具）、亲属关系证明（由单位、居委会或村委会出具）等。
继承公证：前往公证处办理继承公证，确认继承人的身份以及遗产的范围和份额。
银行手续：凭继承公证书、身份证等材料到银行办理存款的支取或转移手续。部分银行对小额存款可能有简化流程，具体可以咨询相关银行。
五、特殊情况处理
如果在继承过程中遇到争议，比如继承人之间对遗产分配有分歧，那么首先应当尝试通过协商或调解来解决。如果无法协商一致，可以通过向人民法院提起诉讼来解决争议，法院将依法作出判决。
综上所述，继承父亲名下的存款需要明确遗产范围与性质、确定继承方式、了解法定继承顺序与份额、办理继承手续，并在遇到争议时通过法律途径解决。希望这个解答能够帮助您清晰地了解整个继承流程。