结论前置：工龄满10年的员工有权要求单位签订无固定期限劳动合同，若单位拒绝签订，则属于违法行为，员工可通过多种合法途径来维护自身权益。以下是对此问题的详细分析：
法律规定与解释
根据《中华人民共和国劳动合同法》第十四条的规定，当劳动者在一家用人单位连续工作满十年时，除非劳动者主动提出订立固定期限劳动合同，否则应当订立无固定期限劳动合同。这里的“无固定期限劳动合同”指的是合同没有明确的终止时间，但并不意味着合同不能解除，只是解除的条件和程序相对更为严格。
员工权利与单位责任
员工权利：
- 有权向用人单位明确提出签订无固定期限劳动合同的要求。
- 若用人单位拒绝签订，员工有权要求单位继续履行劳动关系，并可以依法要求单位承担相应的法律责任，如支付经济补偿金或赔偿金等。
单位责任：
- 在接到员工提出签订无固定期限劳动合同的要求后，单位应积极与员工进行协商，并在合理时间内给予明确答复。
- 若无正当理由拒绝签订，单位可能面临支付经济补偿金、赔偿金等法律不利后果，甚至可能受到劳动监察部门的处罚。
员工应对策略
友好协商：
- 员工应首先尝试与单位进行友好协商，明确告知单位自己符合签订无固定期限劳动合同的条件，并要求单位依法签订合同。在协商过程中，员工可以保留好相关证据，如书面要求、邮件往来等，以备后续维权之需。
向劳动监察部门投诉：
- 如果协商无果，员工可以向当地劳动监察部门投诉。劳动监察部门会对单位遵守劳动法律、法规的情况进行监督检查，并责令单位改正违法行为。员工在投诉时，应提供充分的证据证明自己在单位连续工作满10年，以及单位拒绝签订无固定期限劳动合同的事实。
申请劳动仲裁：
- 员工还可以向劳动争议仲裁委员会申请仲裁。在申请仲裁时，员工需要提供证明自己在单位连续工作满10年的证据，如劳动合同、工资条、工作证、考勤记录等。如果仲裁认定单位存在违法行为，可能会裁决单位与员工签订无固定期限劳动合同，并要求单位支付自应当订立无固定期限劳动合同之日起的二倍工资作为赔偿。
提起诉讼：
- 若员工对仲裁结果不满意，可以在规定时间内向人民法院提起诉讼。通过司法途径，员工可以进一步维护自己的合法权益。在诉讼过程中，员工需要提供充分的证据支持自己的主张，并遵循法院的审理程序。
注意事项
- 员工应确保自己的工龄确实已经满了10年，并且这10年是在同一家用人单位连续工作的。如果存在中断或更换单位的情况，可能会影响工龄的计算和合同的签订。
- 员工在维权过程中应保留好所有相关的证据和文件，如劳动合同、工资条、工作证、考勤记录、书面要求、邮件往来等。这些证据将在协商、投诉、仲裁或诉讼过程中发挥重要作用。
- 员工应了解当地的法律法规和政策，因为不同地区的具体规定可能会有所不同。在维权前，员工可以咨询当地劳动部门或专业律师，以获取更准确的法律信息和建议。
综上所述，工龄满10年的员工在要求签订无固定期限劳动合同时享有明确的法律权利。如果单位拒绝签订，员工可以通过协商、投诉、仲裁、诉讼等多种途径来维护自己的合法权益。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。