关于工亡认定书（即工伤认定决定）的最快下发时间，这主要取决于社会保险行政部门处理工伤认定申请的效率以及申请材料的完整性。
首先，根据相关规定，社会保险行政部门在受理工伤认定申请后，对于事实清楚、权利义务明确的工伤认定申请，应当在15日内作出工伤认定的决定。这是最快可能下发工亡认定书的时间框架。
然而，要达到这个最快时间，有几个关键条件需要满足：
申请材料必须完整：工伤认定申请需要提交一系列材料，包括工伤认定申请表、与用人单位存在劳动关系的证明材料、医疗诊断证明等。如果材料不完整，社会保险行政部门会一次性书面告知需要补正的全部材料，此时认定时限将从材料补齐之日起开始计算，这无疑会延长下发时间。
事故情况必须清晰明确：只有事实清楚、权利义务明确的工伤认定申请，才有可能在15日内作出决定。如果事故情况复杂，或者存在争议，社会保险行政部门可能需要更多时间进行调查和核实。
社会保险行政部门的工作效率：不同地区、不同部门的工作效率可能存在差异。一些部门可能能够迅速处理申请，而另一些部门则可能需要更多时间。
如果申请材料完整且事故情况清晰明确，同时社会保险行政部门的工作效率较高，那么工亡认定书有可能在15日内下发。但请注意，这只是一个理想情况下的最快时间，实际情况可能因各种因素而有所延长。
另外，无论工亡认定书何时下发，社会保险行政部门都应当自工伤认定决定作出之日起20日内，将《认定工伤决定书》或者《不予认定工伤决定书》送达工伤职工（或者其近亲属）和该职工所在用人单位，并抄送社会保险经办机构。这是法定的送达时限，确保了相关方能够及时收到认定结果。
因此，虽然无法给出一个绝对的最快下发时间，但您可以根据上述因素来大致估算，并密切关注社会保险行政部门的通知和送达情况。