结论：欠信用卡5000元在一般情况下不太可能被银行直接起诉，但并非绝对没有可能。具体是否会被起诉，取决于多种因素，包括欠款时间、催收情况、持卡人的还款意愿等。以下是对此问题的详细分析：

一、银行起诉的一般条件与可能性

1. 欠款金额与逾期时间：

   • 虽然5000元的欠款金额相对不算特别巨大，但银行在决定是否起诉时，会综合考虑欠款金额和逾期时间。如果逾期时间较长，且经多次催收后持卡人仍未还款，银行起诉的可能性就会增加。

2. 催收流程与效果：

   • 银行在起诉前通常会进行多次催收，包括电话、短信、书面通知等方式。如果持卡人积极回应催收，并表现出还款意愿，银行可能会选择继续催收而非起诉。
   • 若持卡人长期拖欠、拒绝沟通或毫无还款意愿，银行为了维护自身权益和规范信用卡使用秩序，可能会选择起诉。

3. 成本与收益评估：

   • 银行在决定是否起诉时，还会考虑起诉成本与可能收回欠款之间的关系。对于5000元这样相对较小的欠款金额，银行可能会权衡起诉成本与收益，优先选择其他更为经济有效的追讨方式。

二、可能被起诉的具体情况

1. 长期拖欠且催收无果：

   • 如果持卡人经过多次催收后仍然长期拖欠不还，特别是逾期时间超过三个月，银行就拥有了起诉的权利。

2. 拒绝沟通与还款：

   • 若持卡人态度恶劣、完全拒绝沟通或毫无还款意愿和行动，银行为了维护自身权益，可能会选择起诉。

3. 收到律师函后仍未还款：

   • 在银行多次催款无果，甚至联系不上持卡人的情况下，银行可能会向持卡人寄送律师函。如果在规定期限内仍然不还款，银行就有可能正式起诉持卡人。

三、法律后果与责任

1. 民事责任：

   • 一旦被起诉且持卡人败诉，不仅需要偿还本金5000元，还需承担逾期利息、违约金以及银行起诉所产生的合理费用（如诉讼费等）。

2. 信用记录受损：

   • 无论是否被起诉，逾期还款都会对持卡人的信用记录产生不良影响。这可能导致持卡人在未来申请贷款、信用卡等金融服务时遇到困难。

3. 强制执行措施：

   • 如果持卡人拒不执行法院的判决，银行可以申请强制执行，包括但不限于冻结账户、查封财产等措施。这将对持卡人的个人生活和经济状况产生严重影响。

四、建议与应对策略

1. 积极沟通：

   • 持卡人应尽快与银行取得联系，积极沟通还款事宜，表明自己的还款意愿和计划。这有助于缓解银行的催收压力，降低被起诉的风险。

2. 协商还款方案：

   • 如果确实存在还款困难，持卡人可以主动与银行协商，寻求个性化的还款方案，如分期还款、延期还款等。这有助于减轻还款压力，避免法律纠纷。

3. 保持良好信用记录：

   • 持卡人应时刻关注自己的信用记录，避免逾期还款等不良行为的发生。这有助于维护良好的信用状况，为未来的金融服务申请打下基础。

总结：欠信用卡5000元虽然金额不大，但持卡人仍需高度重视并尽快处理欠款问题。通过与银行积极沟通和协商，制定合适的还款方案，是避免法律纠纷和信用损失的有效途径。如果您有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。