如果遇到行政机关不履行法定职责的情况，可以按照以下步骤处理：
确认行政机关的法定职责范围
首先需要明确该行政机关是否确实负有您所主张的法定职责。这可以通过查阅相关法律法规（如《行政许可法》《行政处罚法》等）、部门规章或地方政府规范性文件来确定。例如，若您申请办理某项行政许可，需确认该事项是否属于该机关的审批权限范围。
通过正式渠道提出履职申请
若确认属于其职责范围，建议以书面形式（如挂号信、电子邮件或政务平台）向行政机关提出履职申请，并保留送达凭证。申请内容应包括：
- 具体请求事项（如要求颁发许可证、查处违法行为等）；
- 事实依据（如相关证据材料）；
- 法律依据（明确指出对方应履行的法律条款）；
- 合理履职期限（可参考《行政诉讼法》第四十七条规定的“两个月”期限）。
- 行政机关仍不履职的救济途径
若行政机关在法定期限内未答复或明确拒绝履行，可采取以下措施：
- 申请行政复议：向其上一级行政机关或同级人民政府提出复议申请（期限为知道该行为之日起60日内）。复议机关需在60日内作出决定，若维持原行为或逾期未决，可进一步起诉。
- 提起行政诉讼：直接向法院起诉（期限为知道该行为之日起6个月内）。法院将审查行政机关是否具有法定职责、是否依法履行，并可判决其限期履职或确认违法。
- 投诉举报：通过信访、纪检监察渠道反映问题（如向纪委监委举报行政不作为），但此途径不替代法律救济程序。
- 注意事项
- 证据保留：全程保存申请材料、送达凭证、沟通记录等，作为后续维权依据。
- 程序合规：复议或诉讼需严格遵守期限和形式要求，避免因程序瑕疵丧失权利。
- 专业协助：若案件涉及复杂法律关系（如行政协议、多部门职责交叉），建议委托律师协助梳理事实、准备证据材料。
示例场景：若您向市场监管部门举报某企业虚假宣传，但对方未在法定期限内查处，您可先通过政务平台提交书面举报材料，保留提交截图；若60日后无反馈，可向上一级市场监管部门申请复议，或直接向法院起诉要求其履行查处职责。
如有具体案件细节需要分析，可进一步向我说明，我会结合实际情况提供针对性建议。