结论：总公司名称变更后，分公司是否需要变更名称取决于具体情况，但通常建议进行变更以确保法律主体的一致性和经营管理的顺畅。以下从法律角度和经营管理角度进行详细分析：
一、法律角度分析
法律主体一致性：
- 分公司作为总公司的附属机构，不具有独立法人资格，其民事责任由总公司承担。因此，当总公司名称发生变更时，为了保持法律主体的一致性，分公司名称中的总公司名称部分也应当相应变更。例如，若总公司从“A有限公司”更名为“C有限公司”，则原名为“A有限公司B分公司”的分公司应更名为“C有限公司B分公司”。
登记手续合规性：
- 根据《中华人民共和国市场主体登记管理条例》第二十四条的规定，市场主体（含分公司）应在变更决议或法定变更事项发生后30日内申请变更登记。若分公司名称中包含总公司名称，且总公司已更名，则分公司也需按照相同流程完成名称变更登记，以避免因逾期未办理而面临的法律处罚，包括责令限期登记、罚款，甚至吊销营业执照。
二、经营和管理角度分析
业务开展便利性：
- 分公司名称与总公司名称保持一致，有助于对外签订合同、开展业务往来时减少不必要的解释和质疑。交易相对方能够清晰识别分公司的主体资格和隶属关系，从而保障业务的顺利进行。
品牌形象统一性：
- 统一的名称有助于塑造和维护企业的品牌形象，增强客户对企业的认知度和信任感。若总公司与分公司名称不一致，可能会给客户造成困惑或误解，影响企业的整体形象和声誉。
管理效率提升：
- 名称统一便于总公司对分公司进行统一管理，包括文件流转、信息沟通、资源配置等方面。这有助于提高管理效率和协同作战能力，降低管理成本。
三、实践操作建议
及时咨询当地规定：
- 由于各地工商行政管理规定可能存在差异，建议在总公司更名后，及时向当地工商行政管理部门咨询分公司名称变更的具体要求和操作流程。
准备相关材料并办理变更手续：
- 根据当地工商行政管理部门的要求，准备相关材料并按时办理分公司名称变更手续。所需材料通常包括《分公司登记申请书》、授权委托书、总公司名称变更证明、变更后的总公司章程复印件等。
关注后续事项：
- 完成名称变更登记后，还需关注印章更换、税务变更、银行账户变更以及相关资质与许可变更等后续事项，确保公司运营的全面合规。
总结与建议：总公司名称变更后，分公司虽然不一定强制要求变更名称（若分公司名称未直接体现总公司名称），但从统一管理和避免混淆的角度出发，仍建议进行相应调整。这有助于保持法律主体的一致性、提升业务开展的便利性、维护品牌形象的统一性以及提高管理效率。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。