在民事案件审理过程中，若发现可能构成犯罪的情况，法院会依据一系列法律原则和程序进行妥善处理，以确保法律的公正实施和当事人权益的充分保障。以下是对此问题的详细解答：
一、基本原则
先刑后民原则：
- 当民事案件与刑事犯罪基于同一法律事实时，法院通常会裁定驳回民事起诉，并将案件材料移送至公安机关或检察机关进行刑事侦查。这一原则旨在确保刑事案件得到优先处理，防止民事判决与后续可能的刑事判决产生冲突。
刑民并行原则：
- 若民事案件与刑事犯罪虽有关联但并非同一法律事实，两者可以分别审理。这意味着，即使存在刑事犯罪嫌疑，只要该嫌疑与民事案件不是同一法律关系，民事案件仍可继续进行，不受刑事案件的影响。
中止诉讼原则：
- 根据《中华人民共和国民事诉讼法》的相关规定，如果民事案件的审理结果必须依赖于另一刑事案件的审理结果，而该刑事案件尚未审结，则民事案件应中止审理，直至刑事案件审结后再恢复。
二、具体处理方式
全案移送：
- 当民事纠纷涉嫌刑事犯罪，且两者属于同一法律事实时，法院会裁定驳回民事起诉，并将案件材料移送至公安机关或检察机关。例如，在借款纠纷中发现借款人可能构成诈骗罪，此时民事案件将被驳回，相关材料移送侦查机关进行刑事立案侦查。
分别审理：
- 若民事案件与发现的刑事犯罪不是同一法律关系，如合同纠纷与诈骗犯罪，民事案件可继续审理，同时将刑事犯罪线索移送公安机关。这种情况下，民事案件的审理不受刑事案件的影响，两者并行不悖。
中止等待：
- 当民事案件的审理结果必须依赖于刑事案件的判决时，如侵权损害赔偿纠纷中侵权行为是否构成犯罪尚待确定，民事案件将中止审理，等待刑事案件的结果。此外，若公安机关或检察机关决定对移送的犯罪线索立案侦查，民事案件同样会中止，直至刑事案件审结后再恢复审理。
三、后续处理与特殊情形
恢复审理与调整诉讼请求：
- 在刑事案件审结后，法院会根据刑事判决结果恢复民事案件的审理。此时，原告可以根据刑事判决结果调整其诉讼请求，如主张相应的赔偿或返还财产等请求。
合并审理（如适用）：
- 在某些情况下，如果民事纠纷与刑事案件基于同一事实或法律关系，且符合法定条件，法院可以决定合并审理。这有助于提高诉讼效率，减少当事人诉累。但需注意，并非所有涉及犯罪的民事案件都适合合并审理，需根据具体情况判断。
特殊情形的处理：
- 对于刑民交叉案件，即既涉及刑事犯罪又涉及民事纠纷的案件，处理原则通常是“先刑后民”。但在特定情形下，如民事案件的审理不依赖于刑事案件的审理结果，也可以并行处理。此外，在自诉案件中，如果被告人提出反诉且反诉内容属于民事纠纷范畴，法院可以将反诉与本诉合并审理，但需确保反诉符合民事诉讼法规定的条件并与本诉具有牵连关系。
四、总结与建议
综上所述，民事案件中发现可能构成犯罪的情况时，法院会依据先刑后民、刑民并行或中止诉讼等原则进行灵活处理。对于当事人而言，了解这些原则有助于更好地预测案件走向、合理安排诉讼策略，并更有效地维护自身权益。在遇到此类情况时，建议当事人及时咨询专业律师，以便获得更具体、更个性化的法律建议。