居民小区养鸡扰民的问题，主要由以下几个部门负责管理和处理：

1. 城市管理部门（或市政管理部门）

   • 职责范围：根据《城市市容和环境卫生管理条例》等相关法规，城市管理部门负责对在城市市区内饲养鸡、鸭、鹅等家畜家禽的行为进行监管。若这些行为影响市容和环境卫生，城市管理部门有权进行处罚。
   • 处理方式：接到居民投诉后，城市管理部门会派员到现场核实情况，并根据相关法规对违规饲养行为进行劝导、警告或罚款等处理。例如，如果鸡舍搭建在公共区域，或者鸡的粪便、羽毛等污染了小区环境，城市管理部门可以要求养鸡者限期整改，甚至拆除鸡舍。

2. 环保部门

   • 职责范围：环保部门主要负责环境污染防治的监督管理。虽然家禽饲养本身不一定直接构成环境污染，但如因饲养产生的粪便、污水等未得到妥善处理，导致环境恶化，环保部门有权介入处理。
   • 处理方式：环保部门会对污染情况进行评估，并要求责任人采取相应措施进行整改，以减少对环境的影响。比如，如果养鸡产生的粪便和污水未经处理直接排放到小区的下水道或河流中，环保部门可以要求养鸡者建设污水处理设施或采取其他有效措施防止污染。

3. 物业管理公司

   • 职责范围：作为小区的管理方，物业管理公司有责任维护小区的公共秩序和环境卫生。对于小区内养家禽扰民的问题，物业管理公司应首先进行劝阻和制止。
   • 处理方式：物业管理公司会向违规业主发出整改通知，要求其限期处理家禽并清理相关污染物。若业主不配合，物业管理公司可向上级主管部门报告，并协助相关部门进行处理。例如，物业管理公司可以组织业主大会讨论养鸡扰民问题，并制定小区内的养鸡管理规定。

4. 公安机关（在特定情况下）

   • 职责范围：虽然公安机关主要负责社会治安管理，但在家禽饲养引发严重噪音扰民、邻里纠纷甚至治安案件时，公安机关也有权介入处理。
   • 处理方式：公安机关会根据具体情况对当事人进行调解、警告或依法采取其他治安管理措施。比如，如果养鸡产生的噪音严重干扰了其他居民的正常生活，且经多次劝阻无效，公安机关可以对养鸡者进行警告或罚款。

除了向相关部门投诉外，你还可以采取以下措施：

• 与养鸡者协商：首先尝试与养鸡者进行沟通，协商解决方案，如调整鸡舍位置、减少养殖数量等。这是最直接且成本最低的解决方式。
• 向物业或居委会反映：如果协商无果，可以向当地居委会或小区物业公司反映情况，让他们出面协调解决。物业公司和居委会在社区管理中扮演着重要角色，他们的介入往往能有效解决问题。
• 拨打12345市民服务热线：可以拨打12345市民服务热线进行反映，然后等待相关部门联系处理。若5个工作日之内没有工作人员联系，可以再次拨打12345进行询问。这是一个便捷的政府服务平台，能够快速响应并解决市民的诉求。

法律背景：

• 根据《中华人民共和国治安管理处罚法》第七十五条，饲养动物干扰他人正常生活的，处警告；警告后不改正的，或者放任动物恐吓他人的，处二百元以上五百元以下罚款。
• 根据《中华人民共和国治安管理处罚法》第五十八条，违反关于社会生活噪声污染防治的法律规定，制造噪声干扰他人正常生活的，处警告；警告后不改正的，处二百元以上五百元以下罚款。

建议：

• 在处理养鸡扰民问题时，应保持冷静和理性，通过合法途径维护自己的权益。
• 如果可能的话，尽量收集相关证据，如照片、视频或录音等，以便在投诉或报警时提供有力的支持。

希望这些信息能对你有所帮助。如果你还有其他问题或需要进一步的法律咨询，请直接向我提问。