申请劳动鉴定，实际上是一个涉及工伤认定和劳动能力鉴定两个阶段的过程，需要分别向不同的部门提出申请。以下是一个清晰、详细且深入的解答：
一、工伤认定阶段
在职工发生事故伤害或被诊断为职业病后，首要步骤是进行工伤认定。这一步骤通常由当地的社会保险行政部门负责，实践中，这一工作多由各地的人力资源和社会保障局（简称“人社局”）具体承办。
申请部门：所在单位、工伤职工或其近亲属、工会组织可向统筹地区的社会保险行政部门（即人社局）提出工伤认定申请。
申请时限：所在单位应在事故伤害发生或职业病诊断之日起30日内提出申请；若单位未按时申请，工伤职工或其近亲属、工会组织可在1年内直接提出申请。
申请材料：包括工伤认定申请表、医疗诊断证明等，具体材料清单可咨询当地人社局。
认定结果：若被认定为工伤，职工将享受工伤保险待遇，包括医疗费、康复费等。
二、劳动能力鉴定阶段
完成工伤认定后，若职工存在残疾或影响劳动能力的情况，应及时进行劳动能力鉴定。
申请部门：劳动能力鉴定申请应向设区的市级劳动能力鉴定委员会提出。该委员会由多部门代表组成，包括人力资源和社会保障行政部门、卫生行政部门、工会组织等，专门负责处理本地区的工伤鉴定事务。
申请条件：职工发生工伤且经治疗伤情相对稳定后存在残疾、影响劳动能力的，或停工留薪期满（含延长期限），即可提出劳动能力鉴定申请。
申请材料：包括工伤认定决定书原件及复印件、被鉴定人身份证复印件、填写完整的劳动能力鉴定申请表、医疗机构出具的诊断证明书、病历、检查、检验报告等诊疗资料。
鉴定流程：提交申请后，劳动能力鉴定委员会将审核材料，并从医疗卫生专家库中随机抽取专家组成专家组进行鉴定。基于专家组的鉴定意见，委员会将作出最终的工伤鉴定结论。
权利救济：如对设区的市级劳动能力鉴定委员会的鉴定结论不服，可在收到结论之日起15日内向省、自治区、直辖市劳动能力鉴定委员会提出再次鉴定申请，其作出的鉴定结论为最终结论。
总结：申请劳动鉴定是一个涉及多个步骤和部门的复杂过程。首先，需要向当地的社会保险行政部门（人社局）提出工伤认定申请；完成工伤认定后，再向设区的市级劳动能力鉴定委员会提出劳动能力鉴定申请。在整个过程中，应严格按照法律法规和程序要求进行操作，确保自己的合法权益得到有效保障。如有任何疑问或需要进一步的帮助，请随时咨询当地的人社局或劳动能力鉴定委员会。