遭遇拖欠农民工资时，劳动者可以优先向以下部门寻求帮助以解决问题：
人力资源和社会保障局的劳动保障监察部门
- 职责：该部门是政府专门机构，负责监督检查用人单位遵守劳动保障法律法规的情况，包括工资支付情况。
- 优势：具有专业性和权威性，能够依法调查处理拖欠工资行为，责令用人单位限期支付工资，并可加付赔偿金。
- 维权途径：携带身份证件、劳动合同、工资条等证明材料，到当地劳动保障监察大队投诉，并填写投诉登记表。劳动监察部门将依法进行调查处理，确保劳动者的合法权益得到维护。
建设行政主管部门（针对建筑行业农民工）
- 适用情况：特别适用于建设领域农民工被拖欠工资的情况。
- 职责：对建设工程项目有监管职责，包括工程款支付等，能够对建设单位、施工总承包企业等进行管理和约束。
- 优势：可采取责令整改、暂停项目施工、罚款等措施，有效解决拖欠工资问题。
- 维权途径：向当地建设行政主管部门反映情况，提供工程项目名称、建设单位和施工单位信息等相关线索，以便部门及时介入调查处理。
劳动争议仲裁委员会
- 适用情况：当劳动者与用人单位就工资支付问题存在争议且无法协商解决时。
- 职责：通过准司法程序裁决劳动争议，确保裁决的公正性和法律效力。
- 优势：仲裁程序相对灵活，审理期限较短，能够较快地解决争议。
- 维权途径：在知道或应当知道权利被侵害之日起一年内，向劳动合同履行地或用人单位所在地的劳动争议仲裁委员会提出书面仲裁申请，并提交相关材料，如劳动合同、工资条等。仲裁委员会将依法审理并作出裁决。
司法部门（法院）
- 适用情况：对仲裁结果不满意或用人单位不履行仲裁裁决时。
- 职责：通过司法程序审理案件，作出具有最高权威性和强制执行力的判决。
- 优势：确保劳动者的合法权益得到最终实现，对拒不执行判决的用人单位可采取强制执行措施。
- 维权途径：向有管辖权的人民法院提交起诉状和相关证据材料，启动民事诉讼程序。若持有用人单位出具的欠条等债权凭证，也可直接向法院起诉。法院将依法审理并作出判决，确保劳动者的权益得到保障。
重要提示：
- 在整个维权过程中，保存好所有相关证据至关重要，如劳动合同、工资条、考勤记录、银行流水等。这些证据是证明劳动关系和工资拖欠情况的关键材料，有助于相关部门更快地介入调查处理。
- 劳动者还可以考虑寻求工会组织的帮助。工会通常能提供法律援助和咨询服务，代表劳动者与用人单位进行沟通协商，维护劳动者的合法权益。
- 如果涉及多个部门或复杂情况，建议直接向我咨询，以获取更具体的法律建议和指导。作为专业律师，我将根据您的具体情况提供个性化的法律解决方案。
综上所述，面对拖欠农民工工资的问题，劳动者应依据具体情况选择合适的维权途径，并积极配合相关部门的调查和处理工作。通过合法途径维护自己的权益是每位劳动者的权利，也是构建和谐稳定劳动关系的重要保障。