当事业单位合同到期后，单位确实有权选择不续签，但这一决定必须严格遵循相关法律法规，并充分考虑到员工的权益。以下是对这一问题的详细解答：
一、法律依据与原则
合同终止与续签自主权：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十四条第一项，劳动合同期满时，合同自然终止。事业单位作为用人单位，享有自主用人权，可以根据岗位需求、人员编制及员工表现等因素，综合决定是否续签合同。
- 同时，《事业单位人事管理条例》也明确规定了事业单位与工作人员订立的聘用合同期限一般不低于3年，并指出了合同到期后单位需依法处理续签事宜。
经济补偿与赔偿金：
- 若单位决定不续签，且不存在员工拒绝在维持或提高原合同约定条件下续签的情况，根据《劳动合同法》第四十六条第五项，单位应向员工支付经济补偿。补偿标准按员工在单位工作年限计算，每满1年支付1个月工资；6个月以上不满1年的，按1年计算；不满6个月的，支付半个月工资的经济补偿。
- 若员工符合签订无固定期限劳动合同条件（如连续工作满十年）且单位拒绝续签，则视为违法解除劳动合同，单位需按法律规定支付赔偿金。
特殊保护情形：
- 员工在本单位连续工作满10年且距法定退休年龄不足10年，提出订立聘用至退休合同的，单位必须同意，不得拒绝续签。
- 女职工在孕期、产期、哺乳期等特殊保护期间，单位也不得以合同到期为由随意不续签。
二、处理流程
提前通知：
- 事业单位应在合同期满前一定时间内（建议至少提前30日）书面通知员工是否续签合同。若决定不续签，应明确告知员工，并说明理由。
工作交接：
- 合同期满后，员工应按照单位要求办理工作交接手续，包括归还办公用品、资料等，确保工作的连续性和稳定性。
经济补偿支付：
- 根据法律规定，单位应向符合条件的员工支付经济补偿。补偿金额应按照员工在单位的工作年限和月工资标准计算。
出具证明与手续办理：
- 单位应在解除或终止劳动合同时出具相关证明，并在十五日内为员工办理档案和社会保险关系转移手续。
三、注意事项与建议
保留证据：
- 在整个处理过程中，单位和员工都应保留好相关证据，如通知书、交接清单、工资条等，以备不时之需。
沟通协商：
- 双方应保持积极沟通，尽量通过协商解决问题。若存在争议，可寻求劳动争议调解组织或劳动争议仲裁委员会的帮助。
合法合规处理：
- 单位在做出不续签决定时，应确保决策过程合法合规，避免因违反法律法规而引发纠纷或赔偿责任。
关注特殊情形：
- 单位应特别注意特殊保护情形下的续签要求，如无固定期限劳动合同的签订和孕期、产期、哺乳期女职工的保护等，避免因违规操作而承担不必要的法律责任。
综上所述，事业单位合同到期后单位有权选择不续签，但必须严格遵守相关法律法规，并充分考虑到员工的权益。通过合法合规的处理方式，可以维护单位的合法权益，同时也保障员工的正当权益不受侵害。