事业单位员工因病不能工作，可依法享受医疗期及相关待遇，单位不得随意解除劳动合同，具体处理方式需结合病情、工龄及单位制度综合判断。以下是具体分析：

1. 医疗期保护
   根据《企业职工患病或非因工负伤医疗期规定》，事业单位员工因病无法工作时，可享受3-24个月医疗期（具体时长根据工龄和单位制度确定）。医疗期内，单位需按原工资的一定比例（通常不低于60%）支付病假工资，且不得以“不能胜任工作”等理由解除劳动合同。若医疗期满后仍无法工作，单位需提前30日书面通知或额外支付1个月工资后，方可解除合同，并依法支付经济补偿。

2. 病假申请与证明
   员工需及时向单位提交医院出具的病假证明（如诊断书、病历等），并填写病假申请表。若单位对病假真实性存疑，可要求员工到指定医院复查，但不得强制要求员工提供超出必要范围的证明材料。若员工未按规定提交证明，单位可按旷工处理，但需在规章制度中明确规定并告知员工。

3. 特殊疾病保护
   若员工患癌症、精神病等特殊疾病，医疗期可适当延长（具体需根据地方规定执行）。例如，部分地区规定，患特殊疾病的员工医疗期可延长至24个月，且医疗期内单位不得解除合同。此外，若员工因病导致残疾，单位还需根据《残疾人保障法》提供合理便利，不得歧视。

4. 单位违规处理
   若单位在医疗期内违法解除合同（如未支付病假工资、未提前通知等），员工可向劳动监察部门投诉或申请劳动仲裁，要求继续履行合同或支付赔偿金（赔偿金为经济补偿的2倍）。例如，若员工工龄5年，月工资5000元，单位违法解除合同，需支付赔偿金5万元（5年×5000元×2）。

建议：若您或家人遇到此类情况，可先与单位沟通确认医疗期时长及病假工资标准；若单位拒绝履行义务，可收集病假证明、工资条等证据，通过劳动仲裁维护权益。如有具体细节需进一步分析，可直接向我咨询。