申请履行法定职责的答复期限，通常取决于具体的法律法规规定以及行政机关的处理流程，但一般来说，行政机关在收到申请后，应当在法定期限内作出答复或履行相应职责。以下从几个方面详细阐述：

1. 一般规定：

   • 在多数情况下，如果法律法规对行政机关履行法定职责的期限有明确规定，那么行政机关应当在该期限内作出答复或履行职责。例如，某些行政许可事项，法律法规可能规定行政机关在收到申请后的一定期限内（如20日、30日等）必须作出决定。

2. 特殊情形下的期限：

   • 如果法律法规没有明确规定具体的答复期限，那么行政机关通常应当遵循合理期限的原则。这意味着行政机关应当在收到申请后，根据事项的复杂性和紧迫性，在合理的时间内作出答复或履行职责。这个“合理期限”可能因具体情况而异，但应当确保申请人的合法权益得到及时保障。
   • 在某些紧急情况下，如涉及公共安全、健康等紧急事项，行政机关可能需要立即作出答复或采取行动，以防止或减轻损害的发生。

3. 法律后果：

   • 如果行政机关未在法定期限或合理期限内作出答复或履行职责，申请人可以依法寻求救济。这可能包括向上级行政机关投诉、申请行政复议或提起行政诉讼等。在这些程序中，行政机关的逾期不作为可能构成违法，需要承担相应的法律责任。

4. 实际操作建议：

   • 对于申请人而言，在提交申请时，最好能够明确了解相关法律法规对答复期限的规定，以便在必要时能够及时维护自己的合法权益。
   • 如果行政机关未在规定期限内作出答复，申请人可以先尝试与行政机关沟通，了解处理进度和原因。如果沟通无果，再考虑采取进一步的法律措施。

举例说明：假设你向某行政机关提交了一份关于环境违法行为的举报申请，要求该机关进行调查并作出处理。如果相关法律法规规定该机关应在收到举报后60日内作出处理决定，那么该机关就应在60日内完成调查并给出答复。如果逾期未答复，你就有权依法寻求救济。

总结来说，申请履行法定职责的答复期限因具体情况而异，但行政机关应当遵循法定期限或合理期限的原则。如果你对某个具体事项的答复期限有疑问，或者认为行政机关未在规定期限内履行职责，可以直接向我咨询，我会根据你的具体情况提供详细的法律建议。