结论：信用卡1万以下逾期，银行有权提起民事诉讼，但具体是否起诉会综合考虑多种因素。你可以尝试申诉，但申诉成功与否取决于具体情况和证据。

详细分析：

1. 银行起诉的权利：

   • 根据相关法律规定，信用卡逾期不论金额大小，银行均有权提起民事诉讼来追讨欠款。这意味着，即使你的信用卡逾期金额不足一万元，银行也有权通过法律途径来维护其权益。

2. 银行起诉的考量因素：

   • 在实践中，银行是否选择起诉并不仅仅基于逾期金额的大小。银行会综合考虑多个因素，如逾期时间的长短、持卡人的还款态度及能力、以及银行与持卡人之间的沟通协商情况等。
   • 如果逾期时间较长，且经过银行多次有效催收后仍拒不还款，即使逾期金额不足一万元，银行也可能会选择通过诉讼方式来追讨欠款。

3. 申诉的可能性：

   • 如果你认为逾期是由于特殊原因造成的，如忘记还款、临时资金周转困难等，你可以尝试向银行申诉，说明情况并提供相关证据。
   • 申诉的成功与否取决于银行对证据的认可程度以及你的还款态度和能力。如果银行认为你的申诉理由合理，且你表现出积极的还款意愿，银行可能会考虑给予一定的宽限期或减免部分费用。

4. 法律后果：

   • 如果银行提起诉讼并胜诉，你将需要偿还欠款本金、利息、滞纳金等费用，并可能需承担诉讼费用。
   • 若仍拒不履行法院的判决，你将面临强制执行，这不仅会导致个人财产受损，还会对个人信用记录造成严重影响，进而影响未来的贷款、信用卡申请等金融活动。

建议：

• 积极与银行沟通：如果你发现自己的信用卡逾期了，无论金额大小，都应积极与银行取得联系，了解欠款情况，并尝试制定一个可行的还款计划。
• 保留相关证据：如果你认为逾期是由于特殊原因造成的，应保留相关证据，如医疗证明、失业证明等，以便在申诉时提供给银行。
• 寻求专业帮助：如果你对信用卡逾期问题感到困惑或无法解决，可以直接向我咨询，我会根据你的具体情况提供专业的法律建议。

总之，信用卡逾期不论金额大小，都有可能引发法律纠纷。因此，建议你务必重视信用卡还款问题，避免逾期产生的不良后果。