若判决书下来后对方延期履行，你可以采取以下措施来维护自己的合法权益：

1. 明确对方延期履行的性质：

   • 首先，需要确认对方延期履行是出于何种原因。如果是因为不可抗力等法定免责事由导致的延期，那么对方可能不承担违约责任。但如果是无故延期，那么对方就构成了违约行为。

2. 与对方协商：

   • 在确认对方延期履行且无正当理由后，你可以尝试与对方进行协商，要求其尽快履行判决书所确定的义务。协商过程中，可以明确告知对方延期履行的法律后果，以促使其尽快履行。

3. 申请强制执行：

   • 如果协商无果，你可以向法院申请强制执行。根据《中华人民共和国民事诉讼法》的相关规定，判决书生效后，如果对方不履行义务，你可以向法院提交强制执行申请书，并提供相关证据材料。法院在受理申请后，会依法对对方的财产进行查封、扣押、冻结等措施，以强制其履行义务。
   • 申请强制执行的流程：
     1. 准备强制执行申请书及相关证据材料，如判决书、生效证明等。
     2. 向有管辖权的法院（通常为第一审人民法院或者与其同级的被执行的财产所在地人民法院）提交申请。
     3. 法院受理申请后，会向对方发出执行通知书，责令其在指定期限内履行义务。
     4. 如果对方仍不履行，法院将采取强制执行措施，如查封、扣押、冻结财产等。

4. 要求对方承担违约责任：

   • 在申请强制执行的同时，你还可以要求对方承担违约责任。根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，如果对方不履行合同义务或者履行合同义务不符合约定，应当承担继续履行、采取补救措施或者赔偿损失等违约责任。因此，你可以要求对方支付逾期履行期间的利息、违约金等费用。

5. 关注执行进展并适时采取进一步措施：

   • 在申请强制执行后，你需要密切关注执行进展。如果发现对方有转移财产等逃避执行的行为，你可以及时向法院报告，并请求法院采取相应措施。此外，如果对方确实无财产可供执行，你可以考虑申请将其纳入失信被执行人名单，以对其产生信用惩戒效果。

在处理此类问题时，你需要注意以下几点：

• 保留好所有与案件相关的证据材料，如判决书、生效证明、协商记录等，以便在需要时提供证明。
• 及时关注案件的执行进展，确保自己的权益得到及时维护。
• 如果遇到复杂情况或对方有恶意逃避执行的行为，建议及时咨询专业律师（即向我咨询），以便获得更具体的法律建议和帮助。