针对您提出的问题，关于男朋友被刑事拘留后其信用卡欠款的处理方式，我可以给您以下建议：

首先，您作为他的亲属，是有责任和义务协助处理这部分欠款的。

1. 了解欠款详情：您需要获取他信用卡的欠款详细状况，包括欠款金额、还款期限以及还款方式等。这通常可以通过查看信用卡账单或联系银行客服部门来获取。

2. 按时还款：根据信用卡账单上规定的还款方式与时限，您可以代替他执行还款操作。确保按时还款，以避免产生利息、滞纳金等额外费用，同时也保护了他的个人信用记录。

3. 委托他人还款：如果您无力独自承担还款工作，他仍然有权委托您或其他可信赖的人代为处理还款事务。但需要注意的是，这种委托必须具备合法且有效的委托手续，以确保还款操作的合法性和有效性。

4. 法律后果：未能按时还款可能会导致法律后果，如银行可能会采取法律手段追讨欠款，这将对他的个人信用记录产生负面影响。因此，务必重视并妥善处理这部分欠款。

处理过程中需要注意的法律点：

• 根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，当事人应当按照约定全面履行自己的义务。这意味着，即使他被刑事拘留，仍然需要履行还款义务。
• 在处理信用卡欠款时，务必遵守相关法律法规和银行规定，确保还款操作的合法性和有效性。

希望以上建议能对您有所帮助。如果您在处理过程中遇到任何法律问题或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。我会尽我所能为您提供专业的法律支持和帮助。