根据《中华人民共和国劳动合同法》及其相关实施条例，工厂（用人单位）在以下条件下可以辞退员工：
一、员工存在过错的情况
试用期间不符合录用条件：如果员工在试用期间被证明不符合工厂的录用条件，工厂有权解除劳动合同。
严重违反规章制度：员工若严重违反工厂的规章制度，工厂可以依据此条款辞退员工。
严重失职或营私舞弊：员工因严重失职或营私舞弊给工厂造成重大损害的，工厂有权解除劳动合同。
同时与其他单位建立劳动关系：员工若同时与其他用人单位建立劳动关系，且对完成本单位的工作任务造成严重影响，或者经工厂提出后拒不改正的，工厂可以辞退员工。
劳动合同无效：因员工以欺诈、胁迫的手段或者乘人之危，使工厂在违背真实意思的情况下订立或者变更劳动合同，导致劳动合同无效的，工厂可以解除劳动合同。
被依法追究刑事责任：员工若被依法追究刑事责任，工厂有权解除劳动合同。
二、非员工过错但需解除劳动合同的情况
医疗期满不能从事原工作：员工患病或者非因工负伤，在规定的医疗期满后不能从事原工作，也不能从事由工厂另行安排的工作的，工厂可以提前三十日以书面形式通知员工本人或者额外支付一个月工资后解除劳动合同。
不能胜任工作：员工若不能胜任工作，经过培训或者调整工作岗位后仍不能胜任工作的，工厂同样可以依据此条款解除劳动合同。
客观情况发生重大变化：劳动合同订立时所依据的客观情况发生重大变化，致使劳动合同无法履行，且经工厂与员工协商未能就变更劳动合同内容达成协议的，工厂可以解除劳动合同。
三、经济性裁员的情况
当工厂出现以下情形之一，需要裁减人员二十人以上或者裁减不足二十人但占企业职工总数百分之十以上的，工厂应提前三十日向工会或者全体职工说明情况，听取工会或者职工的意见后，裁减人员方案经向劳动行政部门报告，可以裁减人员：
依照企业破产法规定进行重整。
生产经营发生严重困难。
企业转产、重大技术革新或者经营方式调整，经变更劳动合同后，仍需裁减人员的。
其他因劳动合同订立时所依据的客观经济情况发生重大变化，致使劳动合同无法履行的。
综上所述，工厂在辞退员工时必须遵循相关法律法规的规定，确保辞退行为的合法性和合理性。如有任何疑问或需要进一步的法律咨询，建议员工及时寻求专业法律人士的帮助。