申请撤诉的处理方式会根据案件类型的不同而有所区别，下面我将分别就行政诉讼和公诉案件两种情况为您详细解答。
一、行政诉讼中的撤诉
在行政诉讼中，如果被告改变了被诉的具体行政行为，且原告申请撤诉，那么需要满足以下条件，人民法院才会裁定准许撤诉：
申请撤诉是当事人真实意思表示：这意味着撤诉必须是原告自愿提出的，没有受到任何外部压力或不当影响。
被告改变被诉具体行政行为不违反法律、法规的禁止性规定：被告的改变行为必须在法律允许的范围内进行，不能超越或放弃职权，也不能损害公共利益和他人合法权益。
被告已经改变或者决定改变被诉具体行政行为，并书面告知人民法院：被告需要明确表示其已经或决定改变原行为，并将这一决定书面通知法院。
第三人无异议：如果案件涉及第三人，那么第三人的意见也是考虑撤诉是否被准许的重要因素。
如果满足上述条件，且撤诉有履行内容且已履行完毕，或者虽然不能即时或一次性履行但法院认为可以准许撤诉的，人民法院会裁定准许撤诉。裁定中可能会载明被告改变被诉具体行政行为的主要内容及履行情况，并明确被诉具体行政行为全部或部分不再执行。
二、公诉案件中的撤诉
在公诉案件中，撤诉是检察机关处理案件的一种方式。撤诉后的处理方式可能包括：
检察机关作不起诉处理：如果检察机关认为案件不符合起诉条件，可能会决定不起诉。但这一决定可能引发程序冲突，如公安机关或被害人的复议、申诉等。
补充新的事实证据后重新向法院提起公诉：如果检察机关在撤诉后发现了新的事实或证据，可能会在法定期限内重新向法院提起公诉。
建议公安机关撤回处理：在某些情况下，检察机关可能会建议公安机关撤回案件，由公安机关进行进一步处理。
以补充侦查方式退回公安机关后不了了之：这是一种不太规范的处理方式，可能导致案件被搁置，损害司法权威性。
为了规范撤诉程序，保护当事人合法权益，提高办案效率，降低诉讼成本，建议完善相关立法规定，明确撤诉的涵义、条件、法律效力等，并制定科学合理的办案考核标准，转变执法观念，确保撤诉程序的合法性和公正性。
综上所述，申请撤诉的处理方式取决于案件类型和具体情况。在行政诉讼中，撤诉需要满足一定条件并由法院裁定准许；在公诉案件中，撤诉后的处理方式则可能因检察机关的决定和案件情况而有所不同。如果您有具体的案件情况或疑问，建议咨询专业律师以获取更准确的法律意见。