针对超过60岁农民工工资拖欠问题，最快最有效的解决部门是当地的劳动监察大队，同时也可以考虑通过劳动仲裁或法律诉讼途径解决。以下是从不同角度给出的详细分析和建议：

一、劳动监察大队

1. 职责与优势：

   • 劳动监察大队是劳动行政部门下属的专门机构，负责监督用人单位遵守劳动法律法规的情况，包括工资支付、工时、社保等。
   • 对于工资拖欠问题，劳动监察大队有权进行调查、取证，并可以责令用人单位限期支付工资。如果用人单位逾期不支付，劳动监察大队还可以申请法院强制执行。
   • 劳动监察大队的处理流程相对较快，且不需要农民工承担任何费用。

2. 操作建议：

   • 农民工可以携带相关证据（如劳动合同、工资条、工作证等）到当地劳动监察大队进行投诉。
   • 投诉时，应详细说明拖欠工资的情况，包括拖欠的金额、时间、用人单位的名称和地址等。
   • 劳动监察大队在接到投诉后，会进行调查核实，并根据情况作出相应的处理决定。

二、劳动仲裁

1. 适用情况：

   • 如果劳动监察大队的处理结果不满意，或者用人单位拒绝执行劳动监察大队的决定，农民工可以考虑向劳动仲裁委员会申请劳动仲裁。
   • 劳动仲裁是一种准司法程序，其裁决具有法律效力，用人单位必须履行。

2. 操作建议：

   • 农民工需要准备充分的证据材料，包括劳动合同、工资条、工作证、投诉记录等。
   • 提交仲裁申请时，应明确仲裁请求和事实理由，并按照规定的格式和要求填写仲裁申请书。
   • 劳动仲裁委员会在受理申请后，会组织双方进行调解或开庭审理，并作出裁决。

三、法律诉讼

1. 适用情况：

   • 如果劳动仲裁的裁决结果仍然不满意，或者用人单位拒绝履行仲裁裁决，农民工可以向法院提起诉讼。
   • 法律诉讼是最终的解决途径，其判决具有强制执行力。

2. 操作建议：

   • 农民工需要准备充分的证据材料，并撰写起诉状，明确诉讼请求和事实理由。
   • 提交起诉状时，应按照法院的要求缴纳诉讼费用，并等待法院的受理和开庭审理。
   • 在诉讼过程中，农民工应积极配合法院的调查和审理工作，并遵守法庭纪律。

四、其他注意事项

1. 保留证据：

   • 农民工在平时工作中应注意保留相关证据，如劳动合同、工资条、工作证等，以便在发生工资拖欠时能够证明自己的权益。

2. 及时投诉：

   • 一旦发现工资被拖欠，农民工应及时向相关部门投诉或申请仲裁/诉讼，以免错过最佳的维权时机。

3. 寻求帮助：

   • 如果农民工在维权过程中遇到困难或问题，可以向当地的法律援助机构或律师寻求帮助和支持。

总结来说，针对超过60岁农民工工资拖欠问题，最快最有效的解决部门是当地的劳动监察大队。如果处理结果不满意或用人单位拒绝执行，农民工还可以考虑通过劳动仲裁或法律诉讼途径解决。在维权过程中，农民工应保留好相关证据，及时投诉或申请仲裁/诉讼，并寻求必要的帮助和支持。如果有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。