结论：对方的行为是否构成诈骗，需结合具体情况判断，但根据您描述的情形，存在构成诈骗罪的可能性。以下从不同角度进行分析：
一、诈骗罪的构成要件
诈骗罪是指以非法占有为目的，用虚构事实或者隐瞒真相的方法，骗取数额较大的公私财物的行为。其构成要件包括：
- 主观方面：具有非法占有的目的。
- 客观方面：实施了虚构事实或隐瞒真相的行为，使被害人产生错误认识，并基于错误认识处分财产，行为人因此取得财产。
- 客体：侵犯了公私财产的所有权。
- 数额要求：骗取的财物需达到数额较大的标准（一般指3000元至1万元以上，具体标准因地区而异）。
二、对方行为的具体分析
虚构事实或隐瞒真相：
- 如果对方在收取费用时，明确承诺能够办理逾期事宜，但实际并无能力或未采取任何实质性行动，而是虚构了办理过程或结果，则可能构成虚构事实。
- 如果对方在收取部分费用后，故意隐瞒无法继续办理或未打算继续办理的事实，也可能构成隐瞒真相。
非法占有目的：
- 如果对方在收取费用后，未按照承诺提供服务，且无正当理由拒绝退还已收取的费用，可以推定其具有非法占有的目的。
- 特别是如果对方在收取费用后失联、逃避或转移财产，更进一步表明其非法占有的意图。
数额要求：
- 您提到对方已收取1.2万元，这通常超过了诈骗罪的数额较大标准（具体需结合当地标准判断）。
三、可能存在的法律后果
刑事责任：
- 如果对方的行为构成诈骗罪，将面临刑事处罚，包括有期徒刑、拘役或管制，并可能处以罚金。
- 诈骗数额巨大或有其他严重情节的，刑罚将更重。
民事责任：
- 无论对方是否构成犯罪，您均有权要求其退还已收取的费用，并可能要求赔偿因对方行为造成的损失。
四、建议措施
收集证据：
- 保存所有与对方的沟通记录，包括聊天记录、转账记录、承诺书等。
- 如果可能，获取对方的身份信息、联系方式等。
报警处理：
- 向当地公安机关报案，提供收集到的证据，要求立案侦查。
- 公安机关将根据调查结果决定是否追究对方的刑事责任。
民事诉讼：
- 如果公安机关未立案或您希望更快追回损失，可以考虑向法院提起民事诉讼，要求对方退还费用并赔偿损失。
进一步思考：在处理此类纠纷时，务必保持冷静，避免与对方发生直接冲突。同时，及时咨询专业律师（即我本人，雷强律师，专注于刑事辩护、毒品犯罪、经济犯罪、职务犯罪领域），以便更准确地判断对方行为性质，并采取合适的法律措施维护自身权益。