当户口本遗失，且户主因故无法亲自前往派出所申请补办时，确实需要出具一份书面委托申请。以下是一份户口本遗失补办委托书的示例，您可以根据实际情况进行调整和补充：

户口本遗失补办委托书

兹委托（被委托人姓名），性别（男/女），身份证号码（被委托人身份证号码），作为本户（户主姓名）的合法代理人，全权代表本户办理户口本遗失补办相关事宜。

委托事项：

1. 代为向户口所在地派出所报告户口本遗失情况；
2. 代为填写《丢失居民户口簿报登记表》和《丢失补领居民户口簿登记表》；
3. 代为提交补办户口本所需的全部材料，包括但不限于户主身份证复印件、被委托人身份证原件及复印件等；
4. 代为领取新补办的户口本。

委托原因：

因本户户主（户主姓名）因（具体原因，如出差、生病、工作繁忙等）无法亲自前往派出所办理户口本遗失补办手续，特委托（被委托人姓名）作为合法代理人代为办理。

委托期限：

本委托书自签署之日起生效，至户口本补办完成并领取之日止。

委托人声明：

1. 委托人确认上述委托事项及原因真实无误；
2. 委托人承担因委托事项产生的全部法律责任；
3. 委托人保证所提供的所有材料真实有效，如有虚假，愿承担相应法律责任。

被委托人声明：

1. 被委托人确认接受委托，并愿意按照委托人的要求代为办理户口本遗失补办相关事宜；
2. 被委托人保证在办理过程中遵守相关法律法规，不泄露委托人隐私信息。

委托人签名（捺印）： （户主姓名） 日期：（签署日期）

被委托人签名（捺印）： （被委托人姓名） 日期：（签署日期）

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在撰写委托书时，请确保所有信息准确无误，并由户主和被委托人亲自签名并捺印。同时，根据当地派出所的具体要求，可能还需要提供其他相关材料或证明。建议您在前往派出所办理前，先电话咨询或查阅当地派出所的官方网站，了解具体的补办流程和所需材料，以确保办理过程顺利。