体制内教师申请工伤，对单位而言，主要的影响体现在单位需要履行一系列与工伤保险相关的义务，但并不会对单位的正常运营或整体利益造成直接的负面影响。以下是对此问题的详细解答：

首先，我们要明确的是，工伤保险是国家通过立法强制实施的社会保险制度，旨在保障职工在工作中遭受事故伤害或患职业病时能够获得医疗救治和经济补偿。因此，当体制内教师发生工伤时，单位有责任和义务按照相关法律法规进行处理。

具体来说，单位需要承担以下义务：

1. 及时救治：职工发生工伤时，单位应当立即采取措施使工伤职工得到及时救治，这是单位的法定义务，也是保障职工生命健康权的重要体现。

2. 工伤认定申请：单位需要在规定的时间内（通常是事故伤害发生之日或被诊断、鉴定为职业病之日起30日内）向社会保险行政部门提出工伤认定申请。如果单位未在规定时限内提交申请，那么在此期间发生的符合工伤保险条例规定的工伤待遇等有关费用将由单位自行负担。

3. 劳动能力鉴定申请：在工伤职工伤情相对稳定后，如果存在残疾或影响劳动能力的情况，单位需要与工伤职工或其近亲属一起向设区的市级劳动能力鉴定委员会提出劳动能力鉴定申请。

4. 支付相关费用：根据工伤职工的伤残等级和工伤保险条例的规定，单位需要支付停工留薪期内的工资福利待遇、生活不能自理的工伤职工的护理费用、以及一次性伤残就业补助金等费用。

5. 协助调查核实：在社会保险行政部门受理工伤认定申请后，单位需要协助对事故伤害进行调查核实，提供必要的证据和资料。

6. 配合劳动能力鉴定：单位需要如实提供鉴定需要的材料，遵守劳动能力鉴定相关规定，按照要求配合劳动能力鉴定工作。

从单位的角度来看，虽然申请工伤会带来一定的行政负担和经济支出，但这些都是单位应当承担的法定义务。而且，通过及时、妥善地处理工伤事故，单位可以维护良好的劳动关系，提高职工的工作积极性和满意度，从而有利于单位的长期稳定发展。

此外，值得注意的是，单位如果未依法参加工伤保险或未按时缴纳工伤保险费，将面临社会保险行政部门的责令限期参加、补缴费用、加收滞纳金甚至罚款等处罚。因此，单位应当严格遵守工伤保险相关法律法规，确保职工的合法权益得到保障。

综上所述，体制内教师申请工伤对单位而言，主要的影响是单位需要履行一系列与工伤保险相关的义务，但并不会对单位的正常运营或整体利益造成直接的负面影响。相反，通过妥善处理工伤事故，单位可以维护良好的劳动关系和职工权益，促进单位的长期稳定发展。