结论前置：在对方起诉后，双方私下达成和解，是可以撤诉的，但需要满足一定的条件和程序。

详细分析：

1. 撤诉的法律依据：

   • 根据《中华人民共和国民事诉讼法》的相关规定，原告在宣判前有权申请撤诉。这意味着，在诉讼过程中，只要法院尚未作出最终判决，原告都有权选择撤诉。

2. 和解与撤诉的关系：

   • 当双方当事人在诉讼过程中私下达成和解时，这通常意味着原告愿意放弃其诉讼请求，或者双方就争议事项达成了新的协议。在这种情况下，原告可以选择向法院申请撤诉，以结束诉讼程序。

3. 撤诉的程序要求：

   • 原告需要向法院提交撤诉申请书，明确表达撤诉的意愿，并说明撤诉的理由。
   • 法院在收到撤诉申请后，会进行审查。如果法院认为撤诉申请符合法律规定，且不会损害国家、集体或第三人的利益，通常会裁定准许撤诉。
   • 一旦法院裁定准许撤诉，诉讼程序即告终结，原告不得再就同一事实和理由重新起诉。

4. 特殊情况下的撤诉：

   • 如果双方达成的和解协议涉及到了诉讼标的的处分（如财产分割、债务清偿等），且该和解协议已经得到了法院的确认或制作成了调解书，那么原告的撤诉申请可能会受到一定的限制。因为在这种情况下，撤诉可能会影响到和解协议的效力或执行。
   • 另外，如果被告已经提出了反诉，且反诉请求与原告的本诉请求具有关联性，那么原告在撤诉时也需要考虑反诉的处理情况。

5. 法律建议：

   • 在私下达成和解后，原告应尽快与法院联系，了解撤诉的具体程序和要求。
   • 原告在提交撤诉申请前，应仔细审查和解协议的内容，确保其不会损害自己的合法权益。
   • 如果被告已经提出了反诉或存在其他复杂情况，原告应在撤诉前咨询专业律师的意见，以避免不必要的法律风险。

后续行动建议：

• 如果您或对方在撤诉过程中遇到任何问题或困惑，可以直接向我咨询。作为专业律师，我将根据您的具体情况提供详细的法律建议和指导。
• 在处理此类法律事务时，请务必保持谨慎和理性，确保自己的合法权益得到充分保障。